Chemia - Zestaw nr 4. Twierdzenie de L'Hospitala. Badanie funkcji. Twierdzenie de L'Hospitala. Jeżeli 1) funkcje i są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x0 (x0 może być *∞); 2) albo () 3) istnieje (skończona lub nieskończona), to istnieje także , przy czym =. (Uwaga: Granica po lewej stronie te...
Chemia - Zestaw nr 5. Całki nieoznaczone Całkowanie przez części. Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają na pewnym przedziale ciągłe pochodne, to (na tym przedziale). Całkow. przez podstawienie. Jeśli funkcja x = f(t) ma ciągłą pochodną f'(t) na przedziale T, to dla funkcji g(x) określ. na przedziale f ...
Chemia - Zestaw nr 8. Wyznaczniki. Rząd macierzy. Tw. Kroneckera - Capellego. Załóżmy, że A jest macierzą kwadratową stopnia n , n 1. Niech 1≤i,j≤n. Wtedy symbolem Ai,j oznaczamy macierz stopnia n-1, powstałą z macierzy A przez skreślenie i...
Chemia - Zestaw nr 12. Zastosowanie pochodnych czstkowych. Funkcja uwikana. Prosta normalna i paszczyzna styczna do powierzchni. Funkcja uwikana. Niech F bdzie funkcj dwch zmiennych (cig wraz z pochodnymi czstkowymi w otoczeniu punktu (x0, y0)). Niech F(x0, y0) = 0 , a (x0, y0)"0. Wtedy rwnan...
Chemia - Zestaw nr 13. Równania różniczkowe rzędu pierwszego. Równanie o zmiennych rozdzielonych: . Rozwiązaniem jest Równanie jednorodne: . Równanie to można za pomocą podstawienia sprowadzić do równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych. (y=ux, y'=u'x+u)
1. Rozwiąż równanie X2+ix-4-2i=0 2. 1 1 0 0 1 5 1 1 1 Podaj macierz odwrotną. 3.A = 1 3 1 2 AXA=A+2At. Znajdź X. 4. det 1 0 0 2 1 3 1 0 2 0 1 5 0 2 1 0 5. Sprawdź czy układ o macierzy rozszerzonej jest niesprzeczny: 1 2 1 1 1 2 1 2 1 0 4 5 4 3 4 6. Sprawdź określoność macierzy 3 ...
Zestaw 2 1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji danej wzorem: (a) f (x, y) = x2 − xy + y2 − 2x + y, (b) f (x, y) = 2x4 + y4 − x2 − 2y2, (c) f (x, y) = 1 6 + x2 + 2x + y2 − 4y , (d) f (x, y) = x2 + xy + y2 − 4 ln x − 10 ln x, (e) f (x, y) = e − (x...
Całka Krzywoliniowa Niezorientowana 1. Obliczyć ´ K (x + y) dl, gdzie K jest obwodem ∆ABC (A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1)). 2. Obliczyć ´ K (x2 + y2) dl, gdzie K jest krzywą zadaną równaniami parametrycznymi: x = a (cos t + t si...
Całki Wielokrotne 1. Znaleźć granice całkowania całki ¨ D f (x, y) dx dy, jeśli: (a) D jest trójkątem o wierzchołkach O = (0, 0), A = (4, 2), B = (−4, 2), (b) D = {(x, y) : y2 ≥ x2 ∧ y ≤ 4 − x2}. 2. Zmienić kolejność całkowania w całkach iterowanych: (a) 2 ´ −6 2−x ´ x2 4 f (x, y) dy dx, (b) 2 ´ 0 ...
Zestaw 1 1. Pokazać, że dla funkcji f (x, y) = x − y x + y istnieją granice iterowane w (0, 0), natomiast nie istnieje lim (x,y)→(0,0) f (x, y) . 2. Pokazać, że dla funkcji f (x, y) = (x − 1) y2 (x − 1) 2 + y4 istnieją granice iterowane w (1, 0), natomiast nie istnieje lim (x,y)→(1,0) f (x, y) . 3....
