Całka Krzywoliniowa Niezorientowana 1. Obliczyć ´ K (x + y) dl, gdzie K jest obwodem ∆ABC (A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1)). 2. Obliczyć ´ K (x2 + y2) dl, gdzie K jest krzywą zadaną równaniami parametrycznymi: x = a (cos t + t sin t), y = a (sin t − t cos t), t ∈ [0, 2π]. 3. Obliczyć ´ K xy dl, gdzie K jest łukiem krzywej y = x3 zawartym między punktami A = (1, 1) oraz B = (2. 8). 4. Obliczyć pole powierzchni bocznej walca x2 + y2 = 2x zawartej wewnątrz kuli o brzegu: x2 + y2 + z2 = 4. 5. Obliczyć masę krzywej zadanej równaniem y = ln x, x ∈ [a, b], której gęstość w dowolnym jej punkcie jet równa kwadratowi odciętej tego punktu. 6. Obliczyć masę krzywej zadanej równaniem xy = 1, x ∈ [1, 2], której gęstość w dowolnym jej punkcie jet równa piątej potędze odległości tego punktu od osi OY. 7. Obliczyć masę krzywej zadanej równaniem x = y2, y ∈ [0, 1], której gęstość w dowolnym jej punkcie jet równa odległości tego punktu od osi OX. Wskazówka! Masę krzywej wyraża wzór: M = ˆ K ρ (x, y) dl, gdzie ρ (x, y) to gęstość w punkcie (x, y). 8. Obliczyć ´ K √ 2 + z2dl, gdzie K jest krzywą zadaną równaniami parametrycznymi: x = t cos t, y = t sin t, z = t; t ∈ [0, 2π]. 9. Obliczyć ˆ K 1 √ 1 + 5y dl, gdzie K jest krzywą zadaną równaniami parametrycznymi: x = t cos t, y = t2, z = t sin t; t ∈ [0, 2π]. Całka Krzywoliniowa Zorientowana 1. Obliczyć ˆ AB xy dx + (x − y) dy, gdzie AB jest łukiem paraboli x = y2, w którym A = (1, −1) zaś B = (1, 1). 2. Obliczyć ˆ K y 2dx + x2dy, gdzie K jest górną połową elipsy x = a cos t, y = b sin t, zoriento- wanym od punktu A = (−a, 0) do punktu B = (a, 0). 1 3. Obliczyć ˆ AB x 2dx + √ xy dy, gdzie AB jest częścią okręgu x2 + y2 = R2 zawartą w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych między punktami A = (0, R) i B = (R, 0). 4. Obliczyć ˆ K x2 + y2dx + y xy + ln x + x2 + y2 dy, jeśli K jest brzegiem obszaru ogra- niczonego krzywymi y = ln x, x = e, y = 0 zorientowanym dodatnio. 5. Obliczyć ˆ K (x + y) dx − (x − y) dy, jeśli K jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y = x2 − 1, y = 1 − x, zorientowanym dodatnio. 6. Obliczyć ˆ K (x − y) dx + 2xy dy, gdzie K jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y = ex, x = 0, y = e zorientowanym zgodnie z ruchem wskazówek zegara. 7. Obliczyć ˆ K x + y 2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)