Metody numeryczne - dokładne opracowanie. 4

Różniczkowanie numeryczne f x f x x f x x k x k k ' ( ) lim ( ) ( ) = + − → ∆ ∆ ∆ 0 funkcja  f(x)  jest spróbkowana z krokiem  h  to znaczy dla każdego  i, x i+1-xi=h f f f h k k ' ( ) = − + +1 0 f f f h h k k k ' ( = − + +1 0 wzór dwupunktowy f f h f h f k k k k + = + ⋅ + + 1 2 2 ' ' ! K korzystamy z rozwinięcia funkcji  f(x)  w szereg Taylora wokół punktu  x k+1 OUT Różniczkowanie numeryczne  wzór trójpunktowy - lepsza dokładność f f h f h f h f k k k k k − = − ⋅ + − + 1 2 3 2 3 ' ' ' ' ! ! K f f h f h f = + ⋅ + + 2 ' ' K f f h f f k k k k + = + ⋅ + + 1 2 ' ' ! f f hf h f k k k k + − − = + + 1 1 3 2 3 ' ' ' K f f f h h k k k ' ( ) = − + + − 1 1 2 2 0 OUT Różniczkowanie numeryczne  kontynuacja z uwzględnieniem większej liczby wyrazów rozwinięcia w szereg  Taylora prowadzi do wzorów pięciopunktowych f f hf h f h f k k k k k + = + + + + 2 2 3 2 4 2 8 3 ' ' ' ' ! ! K f f hf h f h f k k k k k − = − + − + 2 2 3 2 4 8 ' ' ' ' K f f hf f f k k k k k − = − + − + 2 2 2 3 ! ! f f hf h f k k k k + − − = + + 2 2 3 4 8 3 ' ' ' K ( ) f h f f f f h k k k k k ' ( ) = − + − + − − + + 1 12 8 8 0 2 1 1 2 4 f f hf h f k k k k + − − = + + 1 1 3 2 3 ' ' ' K * -8 Różniczkowanie numeryczne  wyrażenie na drugą pochodną- wzór trójpunktowy K + + + = + − + ) 4 ( 4 ' 2 1 1 12 2 k k k k k f h f h f f f f f h f h f k k k k + = + ⋅ + + 1 2 2 ' ' ! K f f h f h f h f k k k k k − = − ⋅ + − + 1 2 3 2 3 ' ' ' ' ! ! K OUT K + + + = + − + 1 1 12 2 k k k k k f f h f f f f f f f h h k k k k ' ( ) = − + + + − 1 1 2 2 2 0 OU Różniczkowanie numeryczne  wyrażenie na drugą pochodną – wzór pięciopunktowy K + + + = + ) 4 ( 4 '' 2 4 2 2 f h f h f f f f f hf h f h f k k k k k + = + + + + 2 2 3 2 4 2 8 3 ' ' ' '

(…)

… +1 + 16 f k −1 = 32 f + 16h 2 f k'' +
f k'' =
* 16
4h ( 4 )
f +K
3 k
1
4
2 ( − f k − 2 + 16 f k −1 − 30 f k + 16 f k +1 − f k + 2 ) + 0( h )
14 h
Całkowanie numeryczne
Często nie można znaleźć dokładnych wartości całek oznaczonych z uwagi na
fakt iż funkcja pierwotna dla wielu funkcji które chcemy scałkować nie wyraża
się przy pomocy funkcji elementarnych.
Kilka przykładów:
2
π
∫e
−x2
∫ cos(3 cos(θ…
… k −1 = 2f +h f + f +K
k * 16
12 k 4
4h ( 4 )
16 f k +1 + 16 f k −1 = 32 f + 16h 2 f k'' + f +K
3 k
1
f k'' = 2 ( − f k − 2 + 16 f k −1 − 30 f k + 16 f k +1 − f k + 2 ) + 0( h )
4
14 h
Całkowanie numeryczne
Często nie można znaleźć dokładnych wartości całek oznaczonych z uwagi na
fakt iż funkcja pierwotna dla wielu funkcji które chcemy scałkować nie wyraża
się przy pomocy funkcji elementarnych…
… wzór trapezów
Dla n=2 wzór Simpsona
Całkowanie funkcji
Wzory Cotesa – współczynniki
Wzór
n
Trapezów
1
1
h
2
1
h
2
Simpsona
2
1
h
3
4
h
3
Villarce’a
4
14
h
45
64
h
45
Hardy’ego
6
0
1
2
3
4
5
6
1
h
3
24
h
45
64
h
45
14
h
45
41
216
27
272
27
216
41
h
h
h
h
h
h
h
140
140
140
140
140
140
140
Całkowanie funkcji
kwadratury Gaussa
Każda funkcja f(x) ciągła i ograniczona w [a,b] może być za pomocą
podstawienia…
…
ze zbioru A wynosi (w przybliżeniu):
k
P ( A) =
n
Prawdopodobieństwo to jest równe polu pod wykresem funkcji f(x) czyli
1
P( A) = ∫ f (x )dx ≈
0
k
n
R~
1
n
Przykład obliczenia pola powierzchni zawartego pomiędzy
dwoma krzywymi (metoda analityczna, Simpsona, Monte Carlo)
Wartość teoretyczna = 1/3 =
Wartość z metody Simpsona =
0.333333333333333
0.333326235938687
y = x2
y2 = x
Ilość
losowań
Pole k/n
10^2…
... zobacz całą notatkę