2. Równanie kinetyczne Boltzmanna i czas relaksacji.
Rozwiązując równanie Schrödingera, Boltzmann uwzględnił oddziaływania z defektami. Stworzył
klasyczne równanie transportu.
Rozład równowagowy z poziomem Fermiego: f 0 ( E ) =
1
E − EF
kT
e
−1
Modyfikujemy funkcję rozkładu: f ( E ) = f 0 ( E ) + f1 ( E ) , gdzie f 0 ( E ) f1 ( E )
Zakłada się, że ta nowa funkcja będzie stacjonarna.
Energia w zależności od wektora falowego:
(
2
2
2
2
h2k 2 h kx + k y + kz
E=
=
2m *
2m *
)
Po przyłożeniu zewnętrznego pola elektr. zmienia się rozkład – następuje przesunięcie kuli Fermiego.
Zmiana funkcji rozkładu w czasie:
df df
df
= +
dt dt dryf dt zd
|
człon dryfowy
|
człon zderzeniowy
Aby opisać klasycznie cząstkę, trzeba podać jej położenia i prędkości: x, y, z , k x , k y , k z - współrzędne
w 6-wymiarowej przestrzeni fazowej. Dryf odbywa się w przestrzeni fazowej. Możemy z niej wydzielić
jedną komórkę i rozważyć przepływ cząstek. Po czasie ∆t do komórki wpłyną cząstki, które były przed
nią, stąd przed wyrażeniem v ⋅ ∆t stawiamy minus:
•
•
•
∆f = f x − v x ∆t , y − v y ∆t , z − v z ∆t , k x − k x ∆t , k y − k y ∆t , k z − k z ∆t − f (x, y, z , k x , k y , k z )
wartość funkcji w czasie t + ∆t
Obliczamy pochodną z definicji:
•
•
df
∆f
∂f dx
df
= lim
=−
+ .... = − r ∇ r f − k ∇ k f =
dt ∆t →0 ∆t
∂x dt
dt dryf
To był człon dryfowy, teraz człon zderzeniowy:
(
) (
)
df
= a k'→ k − b k → k' ,
dt zd
|
zderzenia, które
ze stanów k '
przeprowadzają
do stanów k
Stąd:
gdzie a, b - całki zderzeniowe
|
przejścia
w odwrotnym
kierunku
df df
= + a −b
dt dt dryf
Boltzmann założył, że zmiany są wolne w czasie – ustala się stan stacjonarny: człon dryfowy zrównuje
się ze zderzeniowym i pochodna się zeruje.
Stąd równanie Boltzmanna ma postać:
•
•
0 = − r ∇r f − k ∇k f + a − b
Przybliżenie czasu relaksacji:
(
) ( ) ( )(1− f ( k' ) )d
a = ∫ w k ', k ρ k ' f k '
3
k'
SB
|
prawdopodobieństwo przejścia
ze stanu k ' do k
|
gęstość
stanów
|
stan
zajęty
(
|
stan
wolny
) ( ) f ( k )(1− f ( k ) )d
b = ∫ w k, k' ρ k
Podobnie:
3
k
SB
Całka a zwiększa obsadzenie stanu k , z kolei całka b zmniejsza. SB – strefa Brillouina.
W mechanice kwantowej prawdopodobieństwo przejścia w jedną stronę jest równe
prawdopodobieństwu przejścia w drugą stronę:
(
)
(
)
2π
h
w k ', k = w k, k' ~
ˆ
k ' H zb k
ˆ
k H zb k '
( ) ( ) ( f ( k ' )− f ( k ) ) d
f ( k ) = f ( k )+ f ( k )
a − b = ∫ w k ', k ρ k '
Stąd:
3
k'
SB
0
1
↑ wpływ sił zewnętrznych
Przybliżenie:
(
) (
) (
)
w k, k' = Θ k, ϑ δ k − k' ,
gdzie ϑ - kąt między osią a tworzącą stożka
Zakładamy, że prawdopodobieństwo nie zależy
od energii (przy pojedyńczym procesie przejścia
energia zmienia się tak nieznacznie, że możemy
tą zmianę zaniedbać).
E=
h2k 2
2m *
a −b =
a −b =
2π
1
4π
3
∫ dϕ ∫ ∫ Θ ( k ' , ϑ ) δ ( k − k ' ) ( f ( k ' ) − f ( k ) ) k '
0
0
2
∫ Θ ( k ', ϑ ) ( f ( k ' )− f ( k ) ) k '
2
Rozbijamy funkcję
(…)
… − f1
=
dt
τ
df1 − f1
=
dt
τ
→
df1 − dt
=
f1
τ
→
f1 (t ) = f1 ⋅ e
0
→
Czas relaksacji zależy od energii (liczonej od dna pasma):
- fonony akustyczne: p = 0
- fonony optyczne: p = 1
1
- domieszki neutralne: p =
2
- domieszki zjonizowane: p = 2
τ (E) = A ⋅ E
1
2
−
t
τ
p−
1
2
v ~ E → l = AE
Średnia droga swobodna między zderzeniami: l = τv ;
Widać, że dla fononów akustycznych średnia droga…
…
W pomiarach bardzo często uzyskuje się czas relaksacji rzędu 10 −7 , co oznacza, że między zderzeniami
elektron pokonuje tysiące stałych sieciowych. Wynika to z niepoprawności klasycznego opisu kryształu.
3. Prawo Ohma.
Klasyczne prawo Ohma: stosunek napięcia do natężenia prądu jest stały i równy oporowi elektrycznemu
U
R=
I
I
gęstość prądu: j = σ ε =
S
U I
U = ε ⋅l
→
σ =
l
S
1 l U
l
1
= =R
→
R = ρ , gdzie ρ =
- opór właściwy
σ S I
S
σ
Prawo Ohma półkwantowo:
•
•
wychodzimy od − r ∇ r f − k ∇ k f −
( )=0
f1 k
τ
Zakładamy, że nie ma gradientu przestrzennego:
∇r = 0 ;
•
− r ∇r f = 0
•
1 • F
k = hk =
h
h
f
F
∇k f + 1 = 0
h
τ
∂f
∂f
∂f
∇k f =
∇k E = 0 ∇k E + 1 ∇k E
∂E
∂E
∂E
∂f1
∇ E=0
robimy pierwsze przybliżenie:
∂E k
∂f
∂f 1
∂f
∇k f = 0 ∇k E = h 0 ∇k E = h 0 V
∂E
∂E h
∂E
f
F
Wstawiamy to do ∇ k f + 1…
… po wszystkich nośnikach:
N
j = ∑ qV = ∫ qV q( k ) f (k )d 3 k =
i =1
=
1
4π
1
4π
3
3
SB
∫ qV f d
0
3
1
k+
4π
SB
∫ qV f d
0
3
3
∫ qV f d
1
1
4π
3
3
∫ qV ( f
0
+ f1 )d 3 k =
SB
k
SB
k =0
SB
(równowaga termodynamiczna – prąd nie płynie)
Pozostaje tylko całka
1
4π
3
∫ qV f d
1
3
k , do której
SB
∂f 0
Vε :
∂E
wstawiamy f1 = qτ −
q2
∂f 2
j =
τ − 0 V ε d 3k
∫
4π 3 SB ∂E
Przyjmujemy kierunek pola…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)