Wykład 1 Przestrzenie liniowe W geometrii analitycznej w przestrzeni R 3 operowaliśmy wektorami. W zbiorze tych wektorów wprowadziliśmy dwa działania: ( x, y, z ) + ( x 1 , y 1 , z 1) = ( x + x 1 , y + y 1 , z + z 1) , k ( x, y, z ) = ( kx, ky, kz ) gdzie k jest dowolnym elementem ciała liczb rzeczywistych. Zauważyliśmy również, że działania te mają następujące własności: 1. (R 3 , +) jest grupą abelową, 2. ∀u, v ∈ R 3 , ∀k ∈ R k ( u + v ) = ku + kv , 3. ∀u ∈ R 3 , ∀k, l ∈ R ( k + l ) u = ku + lv , 4. ∀u ∈ R 3 , ∀k, l ∈ R k ( lu ) = ( kl ) u , 5. ∀u ∈ R 3 1 u = u . Możemy teraz uogólnić powyższą konstrukcję. Wprowadźmy w zbiorze R n = { ( x 1 , x 2 , . . . , xn ); xi ∈ R } dwa działania: ( x 1 , x 2 , . . . , xn ) + ( y 1 , y 2 , . . . , yn ) = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , xn + yn ) , k ( x 1 , x 2 , . . . , xn ) = ( kx 1 , kx 2 , . . . , kxn ) gdzie k jest dowolnym elementem ciała R. Można sprawdzić, że podobnie jak poprzednio spełnione są własności: 1. (R n, +) jest grupą abelową, 2. ∀u, v ∈ R n, ∀k ∈ R k ( u + v ) = ku + kv , 3. ∀u ∈ R n, ∀k, l ∈ R ( k + l ) u = ku + lv , 4. ∀u ∈ R n, ∀k, l ∈ R k ( lu ) = ( kl ) u , 5. ∀u ∈ R n 1 u = u . Zauważmy, że działanie liczby rzeczywistej k na ciąg ( x 1 , x 2 , . . . , xn ) nie jest działaniem w sensie podanym na wykładzie w pierwszym semestrze, bo nie działa się tu wewnątrz pewnego zbioru, a działa się liczbami rzeczywistymi na elementy ze zbioru R n . Takie działanie będziemy nazywać działaniem zewnętrznym . Dokładniej działaniem zewnętrznym zbioru K na zbiór V nazywamy przyporządkowanie każdej parze ( k, v ) ∈ K × V elementu zbioru V , czyli działaniem zewnętrznym jest następująca funcja: ϕ : K × V → V zamiast pisać ϕ ( k, v ) będziemy zwykle używać zapisu kv pamiętając, że k jest elementem zbioru K , v jest elementem zbioru V , a wynik kv jest znów elementem zbioru V . 1 Sytuację z powyższego przykładu można uogólnić. Niech V będzie zbiorem, w którym jest wprowadzone działanie binarne + i niech K będzie ciałem. Wtedy V nazywać będziemy przestrzenią liniową (lub wektorową ) nad ciałem K gdy w zbiorze V wprowadzone jest działanie zewnętrzne ( k, v ) → kv i spełnione są warunki: 1. ( V, +) jest grupą abelową, 2. ∀u, v ∈ V, ∀k ∈ K k ( u + v ) = ku
(…)
…, że w mnożeniu tym skalary zapisujemy z lewej strony, a wektory z prawej, np. napis αa oznacza, że α jest
skalarem, a a jest wektorem. Element neutralny dodawania oznaczać będziemy przez 0 i nazywać będziemy go wektorem zerowym.
Poznaliśmy już na początku wykładu przykłady przestrzeni liniowych, są
to przestrzenie Rn nad ciałem R. Ogólniej jeśli K jest dowolnym ciałem
to K n jest przestrzenią liniową nad ciałem K, gdzie działania określone są
następująco:
(x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ),
k(x1 , x2 , . . . , xn ) = (kx1 , kx2 , . . . , kxn )
A oto inne przykłady:
1. Zbiór liczb rzeczywistych R jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych Q (działanie zewnętrzne jest zwykłym działaniem mnożenia liczby
wymiernej przez rzeczywistą).
2…
… wektorową nad
ciałem liczb rzeczywistych.
3. Niech K będzie dowolnym ciałem i niech K[x] oznacza zbiór wielomianów
o współczynnikach z ciała K. Wtedy K[x] jest jest przestrzenią liniową nad
ciałem K, gdzie działaniami są zwykłe działania dodawania wielomianów i
mnożenia wielomianu przez liczbę.
2
4. Niech C oznacza zbiór funkcji ciągłych o dziedzinie w zbiorze R wtedy
C jest przestrzenią liniową nad ciałem…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)