przestrzenie liniowe - Wykład 1

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 427
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
przestrzenie liniowe -  Wykład 1 - strona 1 przestrzenie liniowe -  Wykład 1 - strona 2 przestrzenie liniowe -  Wykład 1 - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 1
Przestrzenie liniowe
W geometrii analitycznej w przestrzeni R3 operowaliśmy wektorami. W
zbiorze tych wektorów wprowadziliśmy dwa działania:
(x, y, z) + (x1 , y1 , z1 ) = (x + x1 , y + y1 , z + z1 ),
k(x, y, z) = (kx, ky, kz)
gdzie k jest dowolnym elementem ciała liczb rzeczywistych. Zauważyliśmy
również, że działania te mają następujące własności:
1. (R3 , +) jest grupą abelową,
2. ∀u, v ∈ R3 , ∀k ∈ R k(u + v) = ku + kv,
3. ∀u ∈ R3 , ∀k, l ∈ R (k + l)u = ku + lv,
4. ∀u ∈ R3 , ∀k, l ∈ R k(lu) = (kl)u,
5. ∀u ∈ R3 1u = u.
Możemy teraz uogólnić powyższą konstrukcję. Wprowadźmy w zbiorze Rn =
{(x1 , x2 , . . . , xn ); xi ∈ R} dwa działania:
(x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ),
k(x1 , x2 , . . . , xn ) = (kx1 , kx2 , . . . , kxn )
gdzie k jest dowolnym elementem ciała R. Można sprawdzić, że podobnie jak
poprzednio spełnione są własności:
1. (Rn , +) jest grupą abelową,
2. ∀u, v ∈ Rn , ∀k ∈ R k(u + v) = ku + kv,
3. ∀u ∈ Rn , ∀k, l ∈ R (k + l)u = ku + lv,
4. ∀u ∈ Rn , ∀k, l ∈ R k(lu) = (kl)u,
5. ∀u ∈ Rn 1u = u.
Zauważmy, że działanie liczby rzeczywistej k na ciąg (x1 , x2 , . . . , xn ) nie jest
działaniem w sensie podanym na wykładzie w pierwszym semestrze, bo nie
działa się tu wewnątrz pewnego zbioru, a działa się liczbami rzeczywistymi
na elementy ze zbioru Rn . Takie działanie będziemy nazywać działaniem
zewnętrznym. Dokładniej działaniem zewnętrznym zbioru K na zbiór V
nazywamy przyporządkowanie każdej parze (k, v) ∈ K × V elementu zbioru
V , czyli działaniem zewnętrznym jest następująca funcja:
ϕ:K ×V →V
zamiast pisać ϕ(k, v) będziemy zwykle używać zapisu kv pamiętając, że k
jest elementem zbioru K, v jest elementem zbioru V , a wynik kv jest znów
elementem zbioru V .
1
Sytuację z powyższego przykładu można uogólnić. Niech V będzie zbiorem, w
którym jest wprowadzone działanie binarne + i niech K będzie ciałem. Wtedy
V nazywać będziemy przestrzenią liniową (lub wektorową) nad ciałem
K gdy w zbiorze V wprowadzone jest działanie zewnętrzne (k, v) → kv i
spełnione są warunki:
1. (V, +) jest grupą abelową,
2. ∀u, v ∈ V, ∀k ∈ K k(u + v) = ku + kv,
3. ∀u ∈ V, ∀k, l ∈ K (k + l)u = ku + lv,
4. ∀u ∈ V, ∀k, l ∈ K k(lu) = (kl)u,
5. ∀u ∈ V 1u = u,
elementy zbioru V nazywać będziemy wektorami, a elementy ciała K skalarami. Działanie zewnętrzne nazywać będziemy mnożeniem skalarów przez
wektory. Ponadto przyjmujemy konwencję, że w mnożeniu tym skalary zapisujemy z lewej strony, a wektory z prawej, np. napis αa oznacza, że α jest
skalarem, a a jest wektorem. Element neutralny dodawania oznaczać będziemy przez 0 i nazywać będziemy go wektorem zerowym.
Poznaliśmy już na początku wykładu przykłady przestrzeni liniowych, są
to przestrzenie Rn nad ciałem R. Ogólniej jeśli K jest dowolnym ciałem
to K n jest przestrzenią liniową nad ciałem K, gdzie działania określone są
następująco:
(x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ),
k(x1 , x2 , . . . , xn ) = (kx1

(…)

… K, gdzie działania określone są
następująco:
(x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ),
k(x1 , x2 , . . . , xn ) = (kx1 , kx2 , . . . , kxn )
A oto inne przykłady:
1. Zbiór liczb rzeczywistych R jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych Q (działanie zewnętrzne jest zwykłym działaniem mnożenia liczby
wymiernej przez rzeczywistą).
2…
… wektorową nad
ciałem liczb rzeczywistych.
3. Niech K będzie dowolnym ciałem i niech K[x] oznacza zbiór wielomianów
o współczynnikach z ciała K. Wtedy K[x] jest jest przestrzenią liniową nad
ciałem K, gdzie działaniami są zwykłe działania dodawania wielomianów i
mnożenia wielomianu przez liczbę.
2
4. Niech C oznacza zbiór funkcji ciągłych o dziedzinie w zbiorze R wtedy
C jest przestrzenią liniową nad ciałem…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz