Iloczyn tensorowy - ćwiczenia

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 8)
I LOCZYN TENSOROWY
1. Wyka˙ nast˛ pujace własno´ci iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych nad ciałem K:
z
e ˛
s
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
V ⊗ K ∼ V ∼ K ⊗V ,
= =
V1 ⊗V2 ∼ V2 ⊗V1 ,
=
(V1 ⊗V2 ) ⊗V3 ∼ V1 ⊗V2 ⊗V3 ,
=
V1 ⊗ (V2 ⊗V3 ) ∼ V1 ⊗V2 ⊗V3 ,
=
(V1 ⊕V2 ) ⊗V3 ∼ (V1 ⊗V2 ) ⊕ (V1 ⊗V3 ),
=
V1 ⊗ (V2 ⊕V3 ) ∼ (V1 ⊗V2 ) ⊕ (V1 ⊗V3 ),
=
V1 ⊗ (V2 ⊗ . . . ⊗Vn ) ∼ (V1 ⊗ . . . ⊗Vn−1 ) ⊗Vn ,
=
V1 ⊗ . . . ⊗Vn ∼ Vσ(1) ⊗ . . . ⊗Vσ(n) dla dowolnego σ ∈ S(n).
=
(V1 ⊗ . . .Vk ) ⊗ (Vk+1 ⊗ . . . ⊗Vn ) ∼ V1 ⊗ . . . ⊗Vn ,
=
2. Wska˙ naturalne izomorfizmy podanych przestrzeni liniowych nad ciałem K:
z
∼ m
K n ⊗ K m = Kn ,
n
m
Kn ⊗ Km ∼ Knm ,
= nm
K[X] ⊗ K[Y ] ∼ K[X,Y ],
=
K[X]m ⊗ K[Y ]n ∼ K[X, Y ]m,n , gdzie K[X, Y ]m,n = lin K { X kY l : k ≤ m, l ≤ n}.
=
3. Wyka˙ izomorfizm: V ∗ ⊗W ∼ Hom K (V,W ).
z
=
Wskazówka. Rozwa˙ odwzorowanie t : V ∗ ×W → Hom K (V,W ), takie, ze t( f , w)(v) = f (v) · w.
z
˙
(a)
(b)
(c)
(d)
4. Niech (v1 , v2 , v3 ) b˛ dzie baza˛ przestrzeni V , za´ (w1 , w2 ) baza˛ przestrzeni W . Znajd´ współrz˛ dne wektora v1 ⊗ w1
e
s
z
e
w bazach przestrzeni V ⊗W wyznaczonych przez nast˛ pujace bazy przestrzeni V i W :
e ˛
(a) (v1 , v2 , v3 ) oraz (w1 , w2 ),
(b) (v1 + v2 , v2 + v3 , v3 ) oraz (w1 + w2 , w2 ),
(c) (v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 ) oraz (w1 , −w2 ).
5. Je´li V jest przestrzenia˛ liniowa˛ nad K oraz K ... zobacz całą notatkę