Równania różniczkowe rzędu pierwszego - omówienie

Nasza ocena:

5
Pobrań: 21
Wyświetleń: 532
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Równania różniczkowe rzędu pierwszego - omówienie - strona 1 Równania różniczkowe rzędu pierwszego - omówienie - strona 2 Równania różniczkowe rzędu pierwszego - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

Chemia - Zestaw nr 13. Równania różniczkowe rzędu pierwszego.
Równanie o zmiennych rozdzielonych: . Rozwiązaniem jest Równanie jednorodne: . Równanie to można za pomocą podstawienia sprowadzić do równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych. (y=ux, y'=u'x+u)
Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego: . Rozwiązujemy najpierw równanie liniowe jednorodne: . Jeżeli y(x) _ 0 to rozwiązaniem jest . Następnie uzmienniamy stałą C tzn. zakładamy, że rozwiązaniem równania niejednorodnego jest funkcja postaci: . Podstawiamy tę funkcję do rozwiązywanego równania i znajdujemy najpierw funkcję C'(x).(samo C(x) powinno się wszędzie uprościć), a następnie, całkując - znajdujemy C(x). Równanie różniczkowe Bernoulliego: . (Po ewentualnym podzieleniu przez yα) za pomocą podstawienia z(x) = y1 - α sprowadzamy do równania liniowego.
Równanie różniczkowe zupełne: równanie postaci P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, gdzie . Wtedy lewa strona równania jest różniczką zupełną pewnej funkcji F(x,y), tzn. i , a rozwiązaniem jest rodzina wszystkich krzywych F(x,y) = C.
Jeżeli P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 niekoniecznie jest równaniem zupełnym, ale po pomnożeniu przez μ(x,y) μ(x,y)P(x,y)dx + μ(x,y)Q(x,y)dy = 0 jest równaniem zupełnym, wtedy funkcję μ(x,y) nazywamy czynnikiem całkującym tego równania. · Jeśli zależy tylko od zmiennej x, to równanie ma czynnik całkujący μ(x) = · Jeśli zależy tylko od zmiennej y, to równanie ma czynnik całkujący μ(y) = Rozwiązać równania różniczkowe:
1) (zm. rozdz.) a) b) xy' + y = y2c) d) 2) (jednor.) a) b) c) y2 + x2y' = xyy' d) (y2 - 3x2)dy + 2xydx = 0
3) (liniowe) a) - y tg x = 2 sin x b) c) y' + 2xy = d) y' - 2xy = 2x3 4) (Bernoulliego) a) xy' + xy2 - y = 0 b) y' + xy = xy - 3c) d) e) f) g) 5) (zupełne - sprawdzić!) a) (4x3 + 2xy2 + 1) dx + (2x2y - 1) dy = 0 b) xy2 dx + (x2y + y3 - 4y) dy = 0
c) d) e) . 6) (znajdując mnożniki całkujące, zależne od jednej zmiennej)
a) (x + y)dx - x dy = 0 b) y(1 + xy)dx - x dy = 0 c) (sin x + ey) dx + cos x dy = 0
d) (1 - 3x2siny)dx - x ctg y dy = 0 e) Chemia - Zestaw nr 13 cz.2. Równania różniczkowe wyższych rzędów.
Równanie różniczkowe II rzędu y'' = f(x,y,y') w pewnych przyp. można sprowadzić do równania I rzędu:
R-nie postaci y'' = f(x, y') (a więc nie występuje y): stosujemy podstawienie z = y'
R-nie postaci y'' = f(y, y') (a więc nie występuje x), stosujemy podst. y' = u(y) (wtedy y''= u'(y)·u(y))
Gdy znamy jedno z rozwiązań

(…)

….Każdemu k - krotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu r0 odpowiada k funkcji:
.
3.Każdej parze jednokrot. pierwiastków zespolonych α + βi oraz α - βi (β≠0) odpowiadają dwie funkcje:
oraz .
4.Każdej parze k-krotnych pierwiastków zespolonych α + βi oraz α - βi (β≠0) odpowiada 2k funkcji: , , ..., ,
, , ..., .
Rozwiązaniem równania liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach jest kombinacja liniowa
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz