RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE §1 Równania różniczkowe rzędu I
§2 Równania różniczkowe rzędu II
§3 Równania różniczkowe rzędu III
§1 Równania różniczkowe rzędu I 1.WIADOMOŚCI OGÓLNE Równanie postaci f(x, y, y')=0, w którym istotnie występuje pochodna y' szukanej funkcji y(x) nosi nazwę RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO I-go RZĘDU . np. .
Rozwiązać równanie różniczkowe tzn. znaleźć taką funkcję y = (x), która równanie przekształca w tożsamość. Najprostszymi równaniami różniczkowymi rzędu I są RÓWNANIA NORMALNE postaci:
.
Tego typu równania można rozwiązać przez kwadratury, czyli przez całkowanie. Wtedy rozwiązanie równania (1) postaci
jest zależne od stałej i będzie nosić nazwę CAŁKI OGÓLNEJ .
W interpretacji geometrycznej całka ogólna jest jednoparametrową rodziną krzywych całkowych.
ZAGADNIENIE CAUCHY'EGO Zagadnienie Cauchy'ego dla równania (1) polega na znalezieniu takiego rozwiązania tzn. takiej całki szczególnej tego równania, które spełnia warunek początkowy: , gdzie , są danymi liczbami. Wówczas wstawiając do całki ogólnej (2) wartości , otrzymujemy równość, z której obliczamy c: .
W ten sposób
jest całką szczególną będącą rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego dla równania (1). W interpretacji geometrycznej zagadnienie Cauchy'ego dla równania (1) z warunkiem y(x0)=y0 polega na wybraniu spośród krzywych całkowych (2) takiej, która przechodzi przez z góry ustalony punkt P0(x0, y0).
2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH Przykład 1 Otrzymaliśmy całkę ogólną rozważanego równania. Aby rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego stałą c obliczamy z narzuconych warunków początkowych:
3.RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE POSTACI . Aby rozwiązać tego typu równanie różniczkowe korzystamy z podstawienia:
Przykład 2
4.RÓWNANIA LINIOWE y'+ p(x)y= f(x) - równanie liniowe niejednorodne (r.l.n.)
y'+ p(x)y= 0 - równanie liniowe jednorodne (f(x)0)
(…)
… uzmiennienia stałej poszukując rozwiązania w postaci
:
Aby z tej klasy rozwiązań wybrać jedno, spełniające warunek należy wstawić za x=1 y=0.
całka szczególna równania liniowego niejednorodnego (zagadnienie Cauchy'ego) spełniająca warunek 5. RÓWNANIE BERNOULLIEGO
Przykład 4
c.o.r.l.n. poszukujemy metodą uzmiennienia stałej:
Całka ogólna równania Bernoulliego:
§2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU II.
WIADOMOŚCI…
… oznacza dobrany parametr.
Wstawiamy do równania (3):
Równanie (4) nazywamy równaniem charakterystycznym dla równania (3). I Całki szczególne liniowo niezależne tzn. Wtedy
jest całka ogólną równania liniowego jednorodnego (równania są liniowo niezależne)
.
II -pierwiastek podwójny -całki liniowo niezależne
Jeżeli coś jest całką ogólną, to po pomnożeniu przez x uzyskujemy również całkę ogólną.
Zatem
-całka…
… pochodnej zmienia się w stopień r
↓ całki szczególne liniowo niezależne (iloraz nie jest stały )
Całkę szczególną równania niejednorodnego przewidujemy w postaci ,
gdzie stałe A i B były tak dobrane, by funkcja ta spełniała r.l.n.
.
→
całka przewidywana
Wtedy
→
całka ogólna równania liniowego niejednorodnego
Przykład 2
- równanie liniowe niejednorodne rzędu II
- równanie liniowe jednorodne
↓
- równanie…
….: ,
to rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego można otrzymać za pomocą transformat Laplace'a:
- transformata odwrotna
Skorzystamy dalej z metody tranformacji Laplace'a
Ponieważ transformacja Laplace'a jest przekształceniem całkowym więc jest jednorodna i addytywna.
.
W celu znalezienia powyższych transformat skorzystamy z następujących ich własności :
Tablica transformat Laplace'a
0 0 0
Uwaga 2
Gdy brak warunków…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)