To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego. Definicja Równanie
, gdzie nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego . Równanie to nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ, jeśli , natomiast nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN, jeśli .
Aby wyznaczyć rozwiązanie RN szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ:
RJ
1) funkcja jest rozwiązaniem RJ
2) jeśli , to otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych
Rozdzielając zmienne
całkując
, gdzie i przekształcając otrzymujemy kolejno
i ostatecznie
, gdzie .
Jednakże jeśli , to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązanie .
Zatem całką ogólną równania jednorodnego CORJ jest rodzina dla R. Twierdzenie Jeśli , to jest całką ogólną RJ, ponadto przez każdy punkt obszaru przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.
Uwaga Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ.
Aby wyznaczyć CORN (całkę ogólną równania niejednorodnego) stosujemy jedną z dwóch metod.
CORJ CORN I. Metoda uzmienniania stałej Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x) , aby
było CORN. Wtedy
stąd
zatem
i
jest CORN.
Twierdzenie Jeśli , to
jest całką ogólną równania niejednorodnego, ponadto przez każdy punkt obszaru R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.
Przykład Znaleźć całkę ogólną równania . Nie jest to równanie liniowe funkcji , ale jest równaniem liniowym funkcji odwrotnej . Zatem w przedziale w którym mamy
RN
Szukamy najpierw rozwiązań równania jednorodnego
RJ
przekształcamy
stąd
dla czyli
dla i ostatecznie
dla .
Jeśli , to i spełnia RJ. Stąd otrzymujemy CORJ:
dla R. Uzmienniamy stałą
różniczkujemy
i podstawiając do RN otrzymujemy
czyli
.
Stąd
Ostatecznie
- CORN
jest również całką ogólną równania wyjściowego.
Twierdzenie Niech - CORJ,
- CSRN (całka szczególna równania niejednorodnego).
Wtedy - CORN.
Dowód (szkic):
(…)
….
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania . Nie jest to równanie liniowe funkcji , ale jest równaniem liniowym funkcji odwrotnej . Zatem w przedziale w którym mamy
RN
Szukamy najpierw rozwiązań równania jednorodnego
RJ
przekształcamy
stąd
dla czyli
dla i ostatecznie
dla .
Jeśli , to i spełnia RJ. Stąd otrzymujemy CORJ:
dla R.
Uzmienniamy stałą
różniczkujemy
i podstawiając do RN otrzymujemy
czyli
.
Stąd…
… jest kombinacją liniową wcześniej wymienionych trzech typów funkcji.
Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania RN
spełniającą warunek początkowy .
Rozwiązaniem równania jednorodnego
RJ
jest CORJ.
Wyznaczmy CS dwóch równań niejednorodnych
i stosując metodę przewidywań.
Niech .
Wtedy i wstawiając do otrzymujemy
stąd
Zatem
.
Niech .
Wtedy kolejno
Zatem
.
Stąd otrzymujemy
- CORN
czyli
- CORN
Uwzględniając warunek…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)