Wyznacznikiem Wrońskiego (wrońskianem) dla układu funkcji y1 (x), y2 (x) Nazywamy wyznacznik Własność 2: Jeżeli funkcje y1 (x), y2 (x) są liniowo niezależne w (są całkami równania **), to wrońskianem dla tych funkcji dla Dowód: Przyjmijmy, że istnieje takie że Wówczas układ ma rozwiązanie niezerowe, oznaczamy je przez C1, C2. Dla tych stałych funkcje y = C1y1 (x) + C2y2 (x) jest rozwiązaniem równania (**). Funkcja ta wraz ze swoją pochodną równa się zero w x0. Z tw. o jednoznaczności rozwiązania wynika, że y = 0 co oznacza C1y1 (x) + C2y2 (x) = 0 dla co przeczy liniowej niezależności funkcji y1, y2.
Własność 3: to y1 (x), y2 (x) są liniowo niezależne w .
Dowód: Układ jest układem Cramera . Zatem istnieje dokładnie1 rozwiązanie i to rozwiązanie zerowe C1 = 0, C2 = 0 a to oznacza, że y1 (x), y2 (x) są liniowo niezależne.
Własność 4: Jeżeli y1 (x), y2 (x) są liniowo niezależnymi całkami równania (**) w , to funkcja y = C1y1 (x) + C2y2 (x) jest całką ogólną równania (**).
Własność 5: Jeżeli jest całką szczególną równania (**) w to drugą całkę y2(x) można znaleźć metodą uzmienniania stałej w następujący sposób:
y2 (x) = C (x) y1 (x)
y2' (x) = C' (x) y1 (x) +C (x) y1' (x)
y2” (x) = C” (x) y1 (x) +C' (x) y1' (x) +C' (x) y1' (x) +C (x)+ +y1” (x)
C” (x) y1 (x) +2C' (x) y1' (x) +C (x) y1” (x) + +p1 (x) [C' (x) y1 (x) + C (x) y1' (x)] +p0 (x) C (x) y1 (x) = 0
C (x) [y1” (x) + p1 (x) y2' (x) + p0 (x) y1 (x)] + C” (x) y1 (x) + C' (x) [ 2y1' (x) +p1 (x) y1 (x)] = 0
C” (x) y1 (x) + C' (x) [2y1' (x) + p1 (x) y1 (x)] = 0
Def. Funkcja nazywamy funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej Własność 6: Jeżeli funkcja w (x) = u (x) + iv (x) jest całką równania (**), to funkcje u (x) i v (x) są też całkami równania (**).
Tw. Całka ogólna równania (*) jest sumą całki ogólnej równania (**) i całki szczególnej równania (*).
CORN = CORJ + CSRN
CSRN
Niech CORJ y = C1y1 (x) + C2y2 (x)
CSRN y = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x) gdzie C1 (x) , C2 (x) są takie, że C1`(x) y1 (x) + C2`(x) y2 (x) = 0 C1`(x) y1`(x) + C2`(x) y2`(x) = f (x)
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)