doc.
Notatka zawiera najważniejsze wzory i twierdzenia z przedmiotu matematyka. Dokument porusza takie zagadnienia jak: całka oznaczona, całka nieoznaczona, definicja warunkowa całki, interpretacja geometryczna całki oznaczonej, warunek dostateczny całkowalności, twierdzenie Newtona Leibnitza, twierdzenie o wartości średniej, całkowanie przez podstawienie, całkowanie przez części, twierdzenie Weistrassa, długość łuku, całki wielokrotne, miara Jordana, zbiór niemierzalny, zbiór mierzalny, zamiana współrzędnych prostokątnych na biegunowe, zamiana współrzędnych biegunowych na sferyczne, moment statyczny, definicja łuku regularnego, definicja całki krzywoliniowej, równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, równanie jednorodne, zagadnienie Caushiego dla układów równań.
Notatka pozwoli na przygotowanie się do zajęć i egzaminu z omówionych zagadnień.
CAŁKA OZNACZONA = liczba, CAŁKA NIEOZNACZONA = funkcja
ŚREDNICA PRZEWDZIAŁU Pn: δ(Pn) = max {k=1..n} {Xk-Xk-1=ΔXk}
(Pn)∞n=1 jest normalny ↔ δ(Pn)→0 podział na równe części to podział normalny, podział na nierówne - nie jest normalny
DEFINICJA WARUNKOWA CAŁKI: jeśli dla każdego ciągu normalnego podziału (przedziału) <a,b> i niezależnie od wyboru ciągów punktów pośrednich Xk ∃! granica ciągu Sn (sum całkowych) to tę granicę nazywamy całką oznaczoną na przedziale <a,b> i oznaczamy ∫ab f(x)dx
∫G fdm(n)=lim{δn→0,b->∞} ∑k=1n f(Xk) |Gk|
∫G 1dm(n)=lim{δn→0}∑k=1n1|Gk|=|G|
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ: Gdy f(x)>=0 ∀x∈<a,b> wartość całki ∫ab f(x)dx jest polem trapezu krzywoliniowego czyli polem figury zawartej między osią X a wykresem funkcji i płaszczyznami x=a i x=b
WARUNEK DOSTATECZNY CAŁKOWALNOŚCI: f∈C°(<a,b>)
WARUNEK KONIECZNY: f jest ograniczona na <a,b>
TW. NEWTONA LEIBNITZA: ∫abf(x)dx=F(b)-F(a)
TW O WARTOŚCI ŚREDNIEJ: ∃x∈(a,b): f(x)=(∫abf(x)dx)/(b-a)↔
∃x∈(a,b):∫abf(x)dx=f(x)(b-a)
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE: Z: g:<a,b>→g(a)=α, g(b)=β, g∈C1(<a,b>) i f∈C°(<α,β>),
T: ∫abf(g(x))*g'(x)dx=g(x)=t, g'(x)dx=dt, x|a|b/t|α|β=∫αβf(t)dt
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI: (f,g∈C1(<a,b>)
T: ∫abf '(x)*g(x)dx=[f(x)*g(x)]ba-∫abf(x)g'(x)dx
ADDYTYWNOŚĆ WZGLĘDEM PRZEDZIAŁU CAŁKOWANIA: ∫abf+∫bcf=∫acf
∫abf= --∫baf
∀x∈<a,b> f(x)>=<0→∫abf(x)dx>=<0
f(x)<=g(x)→∫abf(x)dx<=∫abg(x)dx
TW WEISTRASSA: ∃m,M∈R ∀x∈<a,b> m<=f(x)<=M
T: m(b-a)<=∫abf(x)dx<=M(b-a)
∫-aaf. parzystej=2∫0af, ∫-aaf. nieparzystej=0
∫0∞f(x)dx=lim{β→∞}∫aβf(x)dx=lim{β→∞}(f(β)-f(a))=F(∞)-F(a) F(∞)∈R(∃)→c. zbieżna, F(a)∉R(nie∃)→c. rozbieżna
∫-∞∞f(x)dx=∫-∞cf(x)dx+∫c∞f(x)dx=F(∞)-F(-∞) ←c. zbieżna gdy obie są zbieżne
∫@bf(x)dx=lim{α→a+}∫αbf(x)dx=lim{α→a+}(F(b)-F(α))=F(b)-F(a+)
∫aφf(x)dx=lim{β→b-}∫aβf(x)dx=F(b-)-F(a)
∫@φf(x)dx=∫@cf(x)dx+∫cφf(x)dx=F(b-)-F(a+)
∫a©bf(x)dx=∫a©f(x)dx+∫©bf(x)dx
DŁUGOŚĆ ŁUKU: |lAB|=∫αβ√(x'(t)2+y'(t)2)dt
|P|=∫αβy(t)x'(t)dt
CAŁKI WIELOKROTNE:
przedział jest NIEZDEGENEROWANY↔∀k∈In={1..n} ak<bk
ZDEGENEROWANY↔ak<=bk i ∃i: ai=bi
OBJĘTOŚĆ PRZEDZIAŁU n- WYMIAROWEGO: vol P(n)=(b1-a1)(b2-a2)..(bn-an) dla zdegenerowanego vol P(n)=0, volΦ=0
TWORZYMY figurę utworzoną ze skończonej liczby przedziałów n- wymiarowych o wnętrzach parami rozłącznych. Objętość tej figury to suma objętości figur przedziałów. Figura jest WPISANA w G↔ zawiera się w tym zbiorze (OPISANA gdy zawiera zbiór G). Każda figura ma miarę wewnętrzną i zewnętrzną: zewnętrzna - kres dolny objętości wszystkich możliwych figur opisanych, wewnętrzna - kres górny wpisanych.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)