To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE 1.1 CAŁKI NIEWŁAŚCIWE PIERWSZEGO RODZAJU Def. 1.1.1 (całka niewłaściwa na półprostej) Niech funkcja będzie całkowalna na przedziałach [ a,T ] dla każdego T a . Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [ a ,) definiujemy wzorem:
.
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa lub -, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do lub -. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.
Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na przedziale (-, b ]:
.
Def. 1.1.2 (całka niewłaściwa na prostej)
Niech funkcja będzie całkowalna na przedziałach [ S,T ] dla dowolnych S i T takich, że - 0 . Wtedy . Uwaga . Analogiczny fakt jest prawdziwy także dla całek , gdzie b a ,
3. całka jest zbieżna
to całka jest zbieżna.
Uwaga . Twierdzenie powyższe pozostanie prawdziwe, gdy nierówności w założeniu 1 są prawdziwe dla każdego x [ a * ,), gdzie a * a . Jeżeli założenie 3 tego twierdzenia ma postać „całka jest rozbieżna”, to w tezie otrzymamy „całka jest rozbieżna”. Prawdziwe jest także analogiczne kryterium porównawcze dla całek niewłaściwych postaci .
Tw. 1.2.2 (kryterium ilorazowe)
Niech funkcje dodatnie f i g będą całkowalne na przedziałach [ a , T ] dla każdego T a oraz niech , gdzie 0
(…)
… jest zbieżna bezwzględnie, to całka jest zbieżna. Ponadto
.
Uwaga. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla pozostałych rodzajów całek niewłaściwych pierwszego rodzaju. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe dla dowolnej funkcji, np. całka niewłaściwa z funkcji na przedziale [1,) jest zbieżna, ale nie jest zbieżna bezwzględnie.
1.4 CAŁKI NIEWŁAŚCIWE DRUGIEGO RODZAJU
Def. 1.4.1 (całki niewłaściwe…
… do - lub . W pozostałych przypadkach mówimy, że całka ta jest rozbieżna.
W podobny sposób określa się całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych na sąsiedztwach punktów c1, c2, ..., cn [a,b]. Na przykład dla funkcji , nieograniczonej na prawostronnym sąsiedztwie punktu a i na lewostronnym sąsiedztwie punktu b oraz całkowalnej na przedziałach [a + , b - ] dla każdego , przyjmujemy:
,
gdzie d jest dowolnym punktem…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)