Analiza matematyczna - całki niewłaściwe

Nasza ocena:

3
Pobrań: 35
Wyświetleń: 833
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Analiza matematyczna - całki niewłaściwe - strona 1 Analiza matematyczna - całki niewłaściwe - strona 2 Analiza matematyczna - całki niewłaściwe - strona 3

Fragment notatki:


1. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE 1.1 CAŁKI NIEWŁAŚCIWE PIERWSZEGO RODZAJU Def. 1.1.1 (całka niewłaściwa na półprostej) Niech funkcja będzie całkowalna na przedziałach [ a,T ] dla każdego T a . Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [ a ,) definiujemy wzorem:
.
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa  lub -, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do  lub -. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.
Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na przedziale (-, b ]:
.
Def. 1.1.2 (całka niewłaściwa na prostej)
Niech funkcja będzie całkowalna na przedziałach [ S,T ] dla dowolnych S i T takich, że - 0 . Wtedy . Uwaga . Analogiczny fakt jest prawdziwy także dla całek , gdzie b a ,
3. całka jest zbieżna
to całka jest zbieżna.
Uwaga . Twierdzenie powyższe pozostanie prawdziwe, gdy nierówności w założeniu 1 są prawdziwe dla każdego x [ a * ,), gdzie a * a . Jeżeli założenie 3 tego twierdzenia ma postać „całka jest rozbieżna”, to w tezie otrzymamy „całka jest rozbieżna”. Prawdziwe jest także analogiczne kryterium porównawcze dla całek niewłaściwych postaci .
Tw. 1.2.2 (kryterium ilorazowe)
Niech funkcje dodatnie f i g będą całkowalne na przedziałach [ a , T ] dla każdego T a oraz niech , gdzie 0

(…)

… jest zbieżna bezwzględnie, to całka jest zbieżna. Ponadto
.
Uwaga. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla pozostałych rodzajów całek niewłaściwych pierwszego rodzaju. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe dla dowolnej funkcji, np. całka niewłaściwa z funkcji na przedziale [1,) jest zbieżna, ale nie jest zbieżna bezwzględnie.
1.4 CAŁKI NIEWŁAŚCIWE DRUGIEGO RODZAJU
Def. 1.4.1 (całki niewłaściwe…
… do - lub . W pozostałych przypadkach mówimy, że całka ta jest rozbieżna.
W podobny sposób określa się całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych na sąsiedztwach punktów c1, c2, ..., cn  [a,b]. Na przykład dla funkcji , nieograniczonej na prawostronnym sąsiedztwie punktu a i na lewostronnym sąsiedztwie punktu b oraz całkowalnej na przedziałach [a + , b - ] dla każdego , przyjmujemy:
,
gdzie d jest dowolnym punktem…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz