Konstrukcja całki względem miary c.d.- wykład 6

Nasza ocena:

5
Pobrań: 28
Wyświetleń: 280
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Konstrukcja całki względem miary c.d.- wykład 6 - strona 1 Konstrukcja całki względem miary c.d.- wykład 6 - strona 2 Konstrukcja całki względem miary c.d.- wykład 6 - strona 3

Fragment notatki:

WYKŁAD 6
Konstrukcja całki względem miary cd
Opracowanie: Jan Pieczykolan
Niech (Ω, U, μ) - przestrzeń z miarą
E ∈ U
TWIERDZENIE 6.1 (O WARTOŚCI ŚREDNIEJ)
Z: E ∈ U ∧ E ≠ ∅ 0

(…)

… w punktach nieciągłości, patrz przykład 6.1)
Jeżeli f jest nieciągła w x0 oraz istnieją ∧ to rozbijamy całkę na sumę całek po przedziałach [a,x0] i [x0,b] (patrz przykład 6.3).
Całki niewłaściwe
I typ:
Nie jest spełnione założenie 1 twierdzenia Newtona-Leibniza f jest nieciągła w (poza tym jest ciągła)
sprawdzamy czy funkcje można „uciąglić”, jeżeli nie to
sprawdzamy istnienie i wartości granic jednostronnych
Jeżeli funkcja jest nieograniczona, to mamy całkę niewłaściwą.
Wtedy:
Jeżeli granica istnieje i jest skończona to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, w przeciwnym razie całka jest rozbieżna.
PRZYKŁAD 6.4
UWAGA: Należy najpierw zwrócić uwagę na założenia, patrzeć na dziedzinę funkcji podcałkowej,
żeby nie pominąć punktów nieciągłości.
PRZYKŁAD 6.5
Wynikiem jest symbol nieoznaczony, zatem…

DEFINICJA 6.1 (CAŁKA LEBESQUE'A)
Niech , 1(l) Całką Lebesque'a z funkcji f będziemy nazywali całkę względem miary Lebesque'a Niech E∈B0(R) Oznaczenia:
TWIERDZENIE 6.2 Z: T: f - całkowalna w sensie Lebesque'a
Funkcja ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym jest całkowalna w sensie Lebesque'a
Uzasadnienie:
Opis konstrukcji ciągu funkcji prostych:
Niech Tworzymy normalny ciąg podziałów przedziału [a,b…
… podziałów i wyboru punktów pośrednich Całka Lebesque'a z jest równa całce Riemana. Każda funkcja całkowalna w sensie Riemana jest całkowalna w sensie Lebesque'a, ale nie koniecznie odwrotnie.
TWIERDZENIE 6.3 (O WARTOŚCI ŚREDNIEJ DLA CAŁKI LEBESQUE'A)
Z: T: D: Niech na podstawie wł. funkcji ciągłej na przedziale [a,b] , mamy: Na mocy twierdzenia 6.1: oraz f przyjmuje każda wartość pośrednia (wł. funkcji ciągłej), wobec tego:
Funkcja górnej granicy całkowania
Niech , oraz
zauważmy, że:
oraz TWIERDZENIE 6.4 (PIERWSZE, ZASADNICZE TWIERDZENIE RACHUNKU CAŁKOWEGO)
Z: T: ∧ Udowodnimy, że Φ jest funkcją ze zbioru funkcji pierwotnych do funkcji podcałkowej
D: Niech
, Pokazaliśmy, że funkcja górnej granicy całkowania jest funkcja pierwotną do f.
Dla h<0 dowód przebiega w sposób analogiczny.
TWIERDZENIE 6.5…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz