WYKŁAD 7
ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEK
DEFINICJA 6.2 (CAŁKA NIEWŁASCIWA - dla przypomnienia)
, - przedział, jest przedziałem domkniętym i ograniczonym, - przeliczalny ciąg przedziałów domkniętych zawartych w E, wówczas: , ;
UWAGA 7.1 Jeżeli E - przedział domknięty i ograniczony i f całkowalna na E,
.
TWIERDZENIE 7.1 (KRYTERIUM ZBIEŻNOŚCI CAŁKI) Z: ; T: - zbieżna - zbieżna, - rozbieżna - rozbieżna; D: ad : Niech - wstępujący ciąg przedziałów domkniętych: , z założenia: , , ciąg jest rosnący i ograniczony od góry przez , czyli , jest zbieżna. ad : z założenia: , jest rozbieżna. PRZYKŁAD 7.2 (BADANIE ZBIEŻNOŚCI CAŁKI) Obliczyć całkę niewłaściwą: , dla funkcja podcałkowa ma asymptotę pionową, Uwaga: jeśli podejrzewamy, że całka jest zbieżna to szacujemy od góry, gdy zaś podejrzewamy, że całka jest rozbieżna to szacujemy od dołu, całką którą możemy przeliczyć: , , , - funkcja monotoniczna, więc , (1) ; Obliczmy : wykonujemy podstawienie: , skąd: , więc , zatem otrzymujemy: , (2) z (1) i (2) całka zbieżna.
WNIOSEK 6.1
Związek całki Lebesque'a z całką Riemanna (dla przypomnienia).
Z: , , T: , całka Lebesque'a z funkcji ciągłej jest równa całce Riemanna;
POLE OBSZARU D:
Niech D - obszar ograniczony krzywymi: , , , przy tym: , pole obszaru D jest równe: , z interpretacji geometrycznej całki: , = pole , analogicznie dla kolejnych pól.
Współrzędne biegunowe:
Jeśli: - współrzędne kartezjańskie punktu P,
- długość odcinka , - kąt skierowany, to: - współrzędne biegunowe punktu P, Dla opisu wshystkich punktów płaszczyzny przyjmujemy założenia:
, , lub .
PRZYKŁAD 7.2 Narysować lemniskatę Bernouliego: , , , , skąd: - równanie biegunowe, dziedzinę wyznaczamy zawsze z warunku: , , ; Niech: D - obszar ograniczony krzywymi: , oraz ; tworzymy normalny ciąg podziałów przedziału : pole wycinka koła: , tak więc: ;
(…)
… parametrycznie: , , , D - obszar ograniczony krzywymi: L, : ; Dowód: , załóżmy że: - ciągła, - różniczkowalna w , , , , podstawiamy: , skąd oraz , więc: .
Podsumowanie I: D - obszar ograniczony krzywymi: , , , , przy czym: : ; D - obszar ograniczony krzywymi: , , : ; D - obszar ograniczony krzywą: , , i osią ; , , : .
DŁUGOŚĆ ŁUKU L:
Niech L - łuk zadany równaniem parametrycznym:
, , , , , , , ,
długość łamanej…
… prostowalną i jego długość: Dowód: , z twierdzenia 1.3 (Lagrange'a): ,
.
UWAGA 7.2 Analogicznie można wyprowadzić wzór na długość łuku w przestrzeni : , , .
UWAGA 7.3
W szczególności: Jeśli: , , , to: .
Długość krzywej zadanej równaniem biegunowym: , , , , , , , z tw. 7.2: , .
Podsumowanie II: L - łuk regularny: , , , .
, , , .
L - długość łuku zadanego równaniem biegunowym: , , , .
Objętość bryły obrotowej: Z: , , , , - bryła powstała przez obrót krzywej wokół osi : T: Objętość bryły: , D: , - objętość walca, .
Pole powierzchni bryły obrotowej: Z: , , , , T: Pole powierczni bryły: , D: , - powierzchnia boczna sotżka sciętego, .
1
x
y
x
aproksymujemy walcami
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)