Rozwiązywanie zadań - równania liniowe.

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 609
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu

Fragment notatki:

Rownania liniowe jednorodne y'+ p(x)y = q(x) 1.Sprowadzamy do rownania jednorodnego - przyrownujemy do zera:
y'+ p(x)y = 0
2. Wyznaczamy y calkujac metoda zmiennych rozdzielonych, a wynik MNOZYMY razy C.
3. Uzmienniamy stala C.
4. Liczymy pochodna y'(pochodna iloczynu).
5. Wstawiamy wyliczone funkcje y' i y do poczatkowego wzoru rownania.
6. Wyliczamy C'(x), a nastepnie calkujemy aby otrzymac C(x).
7. Wstawiamy C(x) do wczesniej wyznaczonego wzoru y(x), ktory jest rozwiazaniem.
Rownania jednorodne wzgledem y i x y'=f(y/x)
1.Podstawienie u=y/x  y=ux, y'=u'x + u
2. Liczymy rownanie metoda zmiennych rozdzielonych.
3.Podstawiamy u=y/x i wyliczamy y.
Rownania typu y'=f(ax + by +c) 1.Podstawienie ax + by + c = u.
2.Wyznaczamy y z podstawienia i liczymy pochodna y'.
3.Porownujemy wyliczona pochodna z f(u) - wstawiamy do wzoru rownania.
4.Wyznaczamy u' i liczymy metoda zmiennych rozdzielonych.
5. Odwracamy podstawienie i wyznaczamy funkcje y - rozwiazanie rownania.
Rownania zupelne P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 1.Liczymy pochodne dP/dy i dQ/dx.
2.Szukamy funkcji F(x,y), korzystajac z zaleznosci: dF/dx = P(x,y)  calkujemy !
3.Uzmienniamy stala C.
4.Liczymy pochodna dF/dy i przyrownujemy ja do Q(x,y).
5.Wyznaczamy C'(y), a nastepnie C(y).
6.Wstawiamy C(y) do funkcji F(x,y).
Rownania II rzedu 1.Stosujemy podstawienie: u = y', u' = y''.
2.Sprowadzamy do postaci rownania liniowego u' + p(x)u =q(x).
3. .Sprowadzamy do postaci rownania jednorodnego:
u' + p(x)u =0.
4.Wyznaczamy u metoda rozdzielonych zmiennych, uzmienniamy C.
5.Liczymy pochodna z u.
6.Wstawiamy u' i u do rownania liniowego i wyznaczamy C'(x).
7.Wyznaczamy C(x) calkujac.
8.Wstawiamy C(x) do wyznaczonego wczesniej u.
9.u to y'. Liczymy calke z y', aby wyznaczyc y(x).
Rownania jednorodne II rzedu y'' + py' + qy = 0 1.Wyznaczamy wielomian W(λ)= λ 2 +p λ+q=0
2.Wyznaczamy λ 1 i λ 2 .
3.Liczymy y 1 i y 2 ze wzorow:
Jezeli λ 1 =! λ 2 :
y 1 (x) = y 2 (x) = Jezeli λ 1 = λ 2 :
y 1 (x) = y 2 (x) = Jezeli λ 1 = α + iβ, λ 2 = α - iβ
y 1 (x) = sin(βx) y 2 (x) = cos(βx)
4.Wstawiamy y 1 (x) i y 2 (x) do wzoru:
Y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)
Rownania niejednorodne II rzedu y'' +py' + qy = h(x) 1.Sprowadzamy do rownania jednorodnego II rzedu:


(…)

…) i C2(x) i wstawiamy do rozwiazania:
Y(x)= C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x)
Ekstremum lokalne funkcji II zmiennych
1.Liczymy pochodne dF/dx i dF/dy.
2.Porownujemy pochodne do zera, tworzymy uklad i wyznaczamy punkty charakterystyczne - warunek konieczny.
3.Liczymy pochodne 2- rzedu - czyste i mieszane.
4.Liczymy wyznacznik macierzy postaci:
| d2F/ d2x d2F/dxdy |
| d2F/dydx d2F/ d2y | =(ad -bc)
Jezeli det>0…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz