WYKŁAD 3
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
RÓWNANIA NIELINIOWE - WSTĘP
Zagadnienie wyznaczania pierwiastków równań nieliniowych, występujące często w ró nych
dziedzinach nauki i techniki, jest jednym z najstarszych zadań matematycznych. Przykładem takiego
zagadnienia jest rozwiązywanie powszechnie znanego równania kwadratowego
a x 2 + bx + c = 0,
którego pierwiastkami są liczby
2
x1, 2 =
Dla funkcji
w postaci
f (x)
− b ± b − 4 ac
2a
.
określonej w przedziale a ≤ x ≤ b , pojedyncze równanie nieliniowe mo emy zapisać
f ( x) = 0.
(1)
Funkcja f (x) mo e być algebraiczną funkcją nieliniową lub te funkcją przestępną.
Ka dą wartość ξ, dla której funkcja f ( x ) przyjmuje wartość zero
f (ξ ) = 0
nazywamy pierwiastkiem równania (1) lub zerem funkcji
(2)
f ( x).
W ogólnym przypadku dla dowolnej postaci funkcji f ( x ) nie istnieją metody dokładne rozwiązywania
równań nieliniowych np. dla równań algebraicznych metody takie nie istnieją dla równań stopnia
wy szego ni czwarty. Dlatego te w praktyce stosowane są ró nego rodzaju metody iteracyjne,
umo liwiające otrzymanie rozwiązań przybli onych.
Większość metod przybli onego rozwiązywania równań nieliniowych mo na stosować jedynie wtedy,
gdy znamy przedział izolacji pierwiastka tzn. przedział, w którym znajduje się pojedynczy pierwiastek
rozwiązywanego równania. Istnieje wiele metod lokalizowania pierwiastków rzeczywistych. Najprostsze
z nich to:
1) metoda graficzna - stosowana wtedy, gdy równanie wyjściowe (1) mo na przekształcić do postaci
równowa nej
ϕ ( x ) = ψ ( x ),
(3)
w której wykresy funkcji y = ϕ ( x ) i y = ψ( x ) są łatwiejsze do wykonania; pierwiastkami równania
(1) będą odcięte punktów przecięcia tych wykresów np. w przypadku równania
sin x − x = 0, ϕ ( x ) = sin x , ψ ( x ) = x ,
2) metoda tablicowania funkcji w przedziale jej określoności
xi = a + ih
(i = 1, 2, ..., m)
z krokiem
h=
x ∈ [ a , b]
b−a
.
m
w m równoodległych punktach
(4)
Metody iteracyjne, pozwalające na obliczanie pierwiastków z ądaną dokładnością ε, mo na podzielić
na:
a) metody jednopunktowe, gdy następne przybli enie pierwiastka zale y tylko od informacji
obliczanej w jednym punkcie poprzednim,
b) metody wielopunktowe, gdy przy wyznaczaniu następnego przybli enia pierwiastka wykorzystuje
się kilka jego przybli eń, obliczanych w kilku punktach poprzednich.
Podstawowym warunkiem, jaki musi spełniać ka da metoda iteracyjna jest zbie ność ciągu kolejnych
przybli eń: x0 , x1 , ..., xn , xn+1 , ... do pierwiastka równania ξ. Ka dej metodzie iteracyjnej mo na
przyporządkować liczbę p, zwaną rzędem metody lub wykładnikiem zbie ności oraz stałą K, zwaną
stałą asymptotyczną błędu metody - takie, e zachodzi nierówność
p
x n +1 − ξ ≤ K xn − ξ .
(5)
Rząd metody p i stała K charakteryzują szybkość zbie ności metody iteracyjnej: ciąg kolejnych
przybli eń: x0 , x1 , ... jest tym szybciej zbie ny do pierwiastka, im większy jest rząd metody i im mniejsza
jest stała asymptotyczna błędu, najistotniejszą rolę gra
(…)
… , ... jest tym szybciej zbie ny do pierwiastka, im większy jest rząd metody i im mniejsza
jest stała asymptotyczna błędu, najistotniejszą rolę gra jednak wykładnik zbie ności p.
MMETODA ITERACJI PROSTEJ
Jednymi z najwa niejszych metod numerycznego rozwiązywania równania (1) są metody iteracyjne
określane ciągiem kolejnych przybli eń
xk +1 = xk + α { ϕ ( xk ) − xk } (k = 0, 1, 2, ...),
(12)
otrzymanym po zastąpieniu wyjściowego równania (1) równaniem równowa nym
x = ϕ (x )
(13)
i po wprowadzeniu parametru relaksacyjnego α.
Najprostszym przypadkiem ciągu kolejnych przybli eń (12) jest metoda iteracji prostej (oparta
na twierdzeniu Banacha o punkcie stałym)
x k +1 = ϕ ( x k ) ( k = 0, 1, 2, ...),
(14)
uzyskana dla parametru relaksacyjnego
α = 1.
(15)
Metoda iteracji prostej jest zbie na do jedynego pierwiastka równania…
… siecznych, zwaną metodą regula falsi (z łacińskiego: regula - linia,
falsus -fałszywy, co oznacza metodę fałszywego zało enia liniowości funkcji). Punktem stałym
w metodzie regula falsi jest ten punkt, w którym znak drugiej pochodnej f ′′(x) jest taki sam jak znak
funkcji f ( x ). Zatem dla funkcji f ( x ) przedstawionej na rysunku 5a punktem stałym będzie punkt
A (a, f (a ) )
xk +1 = xk −
f ( xk )
( x…
… średniej
x k +1 − x k = ϕ ( xk ) − ϕ ( xk −1 ) = ( x k − x k −1 ) ϕ′( xk ),
gdzie xk ∈ ( xk −1 , xk ).
(17)
Oszacowanie (17) uzyskamy rozwa ając funkcję
f ( x ) = x − ϕ ( x ),
dla której słuszne są dwa oszacowania pomocnicze:
1) f ′ ( x ) = 1 − ϕ ′ ( x ) ≥ 1 − q ,
2) x k − ϕ ( x k ) = f ( x k ) − f (ξ) = x k − ξ f ′( x k ) ≥ (1 − q) x k − ξ ,
gdzie
xk ∈( xk , ξ ).
Graficzną ilustracją metody iteracji…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)