WYKŁAD 8
UKŁADY RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY NEWTONA DLA UKŁADÓW RÓWNAŃ
Wszystkie skalarne metody iteracyjne rozwiązania pojedynczego równania nieliniowego dają się
teoretycznie rozszerzyć na przypadek układu równań nieliniowych.
Metody iteracyjne Newtona mo na uogólnić korzystając z pojęcia ró niczki zupełnej ka dej z funkcji
występującej w układzie równań
f 1 ( x1 , x 2 , ..., x n ) = 0,
f 2 ( x1 , x 2 , ..., x n ) = 0,
...............................
f n ( x1 , x 2 , ..., x n ) = 0
Zakładając, e znamy k-te przybli enie
[
[
[
[
X [ k ] = x1k ] , x2k ] , ..., xnk ]
]
T
(1)
ka dego z pierwiastków, nie spełniające na ogół równania wektorowego
F ( X ) = 0,
otrzymujemy residuum
(
)
F X [k ] = F [k ] ,
(2)
gdzie
[
F [ k ] = f 1[ k ] , f 2[ k ] , ..., f n[ k ]
Po obliczeniu ró niczek zupełnych ka dej z funkcji
n
d fi = ∑
j =1
]
T
.
fi
∂ fi
dxj
∂x j
(i = 1, 2, ..., n)
i dobraniu ich wartości tak, aby zniwelować błędy k-tego przybli enia
d f i = − f i[ k ]
(i = 1, 2, ..., n)
uzyskujemy następujący układ równań
∂ f i[ k ]
∑ ∂ x ∆ x[jk +1] = − fi[k ]
j =1
j
n
(i = 1, 2, ..., n) ,
(3)
w którym ró niczki zupełne d x j zostały zastąpione ró nicami skończonymi
d x j ≈ ∆ x[jk +1] = x[jk +1] − x[jk +1]
( j = 1, 2, ..., n) ,
(4)
a symbol
∂ fi[k ]
∂xj
oznacza wartość odpowiedniej pochodnej cząstkowej w punkcie odpowiadającym k-temu
przybli eniu.
Wprowadzając macierz Jacobiego dla układu funkcji f 1 , f 2 , ..., f n względem zmiennych x1 , x2 , ..., xn
∂ f1
∂x
1
∂ f
2
W ( X ) = F ′( X ) = ∂ x1
L
∂ fn
∂x
1
∂ f1
∂ x2
∂ f2
∂ x2
L
∂ fn
∂ x2
∂ f1
∂ xn
∂ f2
L
∂ xn
,
L L
∂ fn
L
∂ xn
L
(5)
mo emy układ równań liniowych (3) ostatecznie zapisać w następującej postaci macierzowej
X [ k +1] = X [ k ] − W −1 ( X [ k ] ) F ( X [ k ] ) (k = 0, 1, 2, ...) ,
określającej ciąg kolejnych przybli eń klasycznej metody Newtona.
(6)
Wobec faktu szybkiej lokalnej zbie ności i prostej formuły (6) obliczania kolejnych przybli eń
rozwiązywania układu metoda Newtona znalazła szerokie zastosowanie w obliczeniach na maszynach
cyfrowych. W przypadku, gdy liczba zmiennych n jest du a istotną trudność mo e stanowić operacja
odwracania macierzy Jacobiego oraz samo wyznaczanie pochodnych (5). Wówczas zamiast układu
równań liniowych (6) dla składowych wektora X [ k +1] mo na:
1) rozwiązywać równowa ny układ równań liniowych dla przyrostów wektora niewiadomych
∆X
[ k +1]
=X
[ k +1]
−X
[k ]
W( X
[k ]
)∆X
[ k +1]
= −F ( X
[k ]
)
( k = 1, 2, ...),
(7)
2) zastosować zmodyfikowaną metodę Newtona do ciągu kolejnych przybli eń (6)
X [ k +1] = X [ k ] − W −1 ( X [ 0 ] ) F ( X [ k ] ) ( k = 0, 1, 2, ...)
(8)
lub te ciągu kolejnych przybli eń (7),
3) zastąpić pochodne (5) ich przybli eniami ró nicowymi
(
)
[
[
[
f i x1 k ] , x2k ] , ..., x [jk ] + δ j , ..., xnk ] − f i [ k ]
∂ fi
(i , j = 1, 2, ...),
≈
∂xj
δj
w których δ j jest zadanym, dostatecznie małym przyrostem zmiennej x j .
(…)
…
,
L L
∂ fn
L
∂ xn
L
(5)
mo emy układ równań liniowych (3) ostatecznie zapisać w następującej postaci macierzowej
X [ k +1] = X [ k ] − W −1 ( X [ k ] ) F ( X [ k ] ) (k = 0, 1, 2, ...) ,
określającej ciąg kolejnych przybli eń klasycznej metody Newtona.
(6)
Wobec faktu szybkiej lokalnej zbie ności i prostej formuły (6) obliczania kolejnych przybli eń
rozwiązywania układu metoda Newtona znalazła szerokie zastosowanie w obliczeniach na maszynach
cyfrowych. W przypadku, gdy liczba zmiennych n jest du a istotną trudność mo e stanowić operacja
odwracania macierzy Jacobiego oraz samo wyznaczanie pochodnych (5). Wówczas zamiast układu
równań liniowych (6) dla składowych wektora X [ k +1] mo na:
1) rozwiązywać równowa ny układ równań liniowych dla przyrostów wektora niewiadomych
∆X
[ k +1]
=X…
…
1
[
− x1k ] )
∂H
∂H
[
+ ( x2 − x2k ] )
+ U [ k ] = 0,
∂ x1
∂ x2
∂H
= −1,
∂U
jest prosta
której równanie kierunkowe jest następujące
x1 = α x2 + β ,
(16)
gdzie:
α=−
∂H
∂ x2
∂H
,
∂ x1
∂H
[ ∂H
[
β = x1k ]
+ x2k ]
− U [k ]
∂ x1
∂ x2
∂H
.
∂ x1
Realizując zasadę najszybszego spadku punktu materialnego, ześlizgującego się po płaszczyźnie
ściśle stycznej od punktu początkowego R [ k ] wzdłu…
… do begin
sp:=0;
for j:=1 to n do
sp:=sp+A[i,n+j]*F(j,X);
if Abs(sp)>bl then
bl:=Abs(sp);
X[i]:=X[i]-sp;
end;
Write('Iteracja nr ',licz:3);
Writeln('
Norma bledu: ',bl:13);
until (bl<eps) or (licz=iter);
...........................................
Wynik rozwiązania układu równań:
2
2
2 x1 + x2 − 4 x3 = 0,
2
2
3 x1 − 4 x2 + x3 = 0,
2
2
2
x1 + x2 + x3 = 1,
dla przybli enia początkowego
X [ 0…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)