Mówimy, Ŝ e ciało L jest rozszerzeniem ciała K je Ŝ eli K jest podciałem L. Oznaczamy K L ( L nad K ) Rozwa Ŝ my rozszerzenie K L Je Ŝ eli A L, to cz ęść wspóln ą wszystkich podciał ciała L zawieraj ą cych zbiór K A oznaczamy K(A). (Jest to ciało ⇒ i jest to najmniejsze podciało L zawieraj ą ce K A). K K ( A ) jest roszerzeniem K. Je Ŝ eli A jest zbiorem sko ń czonym A = {a 1 , …, a n } to K(A) ozn. K(a 1 , …, a n ). Rozszerzenie K K ( a ) nazywamy pojedynczym. DEF : : : Element a ciała L nazywamy algebraicznym nad K , je Ŝ eli jest on pierwiastkiem pewnego wielomianu niezerowego o współczynnikach z K . W przeciwnym razie a L nazywamy przest ę pnym. Je Ŝ eli wszystkie elementy a L s ą algebraiczne nad K , to rozszerzenie K L nazywamy algebraicznym, np. Q C - rozszerzenie. np. i, 2 7 3 , cos( ) 2007 - liczby algebraiczne e, , 2 e - liczby przyst ę pne S S S T T T W W : : : Zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny (Zbiór liczb przyst ę pnych jest niepoliczalny) T T TW I I IERD Z Z ZEN I I IE . . . Niech K L b ę dzie rozszerzeniem ciała, a L , a - element algebraiczny nad K . Wtedy: (i) Istnieje dokładnie jeden wielomian unormowany (o współczynniku przy najwy Ŝ szej pot ę dze równym 1 ) nierozkładalny f 0 K[x] taki, Ŝ e f 0 (a) = 0 (ii) Ka Ŝ dy wielomian g K[x] taki, Ŝ e g(a) = 0 jest podzielny przez f 0 . (iii) Mamy K(a) = { 0 + 1 a + 2 a 2 + … + n-1 a n-1 : 1 , …, n-1 K}, gdzie n=deg(f 0 ) Ponadto K(a) jest izomorficzne ( ) [ ] 0 f K x DEF : : : Wielomian f 0 z twierdzenia nazywamy wielomianem minimalnym elementu a. deg(f 0 ) nazywamy stopniem elementu a. S S S T T T W W : : : Je Ŝ eli K L jest rozszerzeniem ciał, to L tworzy przestrze ń liniow ą nad ciałem K . Z powy Ŝ szego stw. wynika, Ŝ e je Ŝ eli a L jest elementem algebraicznym stopnia n nad K , to K(a) = lin (1, a, a 2 , …, a n-1 ) Mo Ŝ na wykaza ć , Ŝ e elementy te s ą liniowo niezale Ŝ ne. Zatem tworz ą baz ę K(a). Ogólnie dim K L nazywamy stopniem rozszerzenia, ozn. (L : K) a ka Ŝ dy jego element L nad K tworzy baz ę rozszerzenia K
(…)
…
Mówimy, Ŝe ciało L jest rozszerzeniem ciała K jeŜeli K jest podciałem L.
Oznaczamy K
L (L nad K )
RozwaŜmy rozszerzenie K
L
JeŜeli A L, to część wspólną wszystkich podciał ciała L zawierających zbiór K A
oznaczamy K(A). (Jest to ciało ⇒ i jest to najmniejsze podciało L zawierające K A).
K
K(A) jest roszerzeniem K.
JeŜeli A jest zbiorem skończonym A = {a1, …, an} to K(A) ozn. K(a1, …, an…
…] taki, Ŝe g(a) = 0 jest podzielny przez f0.
(iii) Mamy K(a) = {0 + 1a + 2a2 + … + n-1an-1: 1, …, n-1 K}, gdzie
n=deg(f0)
Ponadto K(a) jest izomorficzne ( )
[ ]
0 f
K x
DEF: ::
Wielomian f0 z twierdzenia nazywamy wielomianem minimalnym elementu a. deg(f0)
nazywamy stopniem elementu a.
S SST TTWW: ::
JeŜeli K
L jest rozszerzeniem ciał, to L tworzy przestrzeń liniową nad ciałem K.
Z powyŜszego stw…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)