To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wyklad 15 22 stycznia 2013 1 Zasadnicze Twierdzenie Algebry Podczas wykladu, w jego pierwszej cze´ sci, kontynuuowalem rozpoczety tydzie´ n wcze´ sniej dow´ od Zasadniczego Twierdzenia Algebry. Twierdzenie 1.1 Cialo liczb zespolonych jest algebraicznie zamkniete. 2. Dalsza cze´ s´ c dowodu przez indukcje. Niech v ∈ R[x], ∂v = d = 2nm, gdzie m jest liczba nieparzysta (latwo zaobserwowa´ c, ˙ze ka˙zda liczbe natu- ralna d r´ o˙zna od zera mo˙zna zapisa´ c w tej postaci). Indukcje poprowadzimy za wzgledu na n. Je´ sli n = 0, w´ owczas v jest stopnia nieparzystego - wiemy za´ s, ˙ze ka˙zdy wielo- mian o wsp´ olczynnikach rzeczywistych i stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty. Przypu´ s´ cmy wiec, ˙ze n ≥ 1 i niech u1, ..., ud beda pierwiastkami wielomianu v w jego ciele rozkladu1. Naszym zadaniem bedzie wykazanie, ˙ze pierwiastki te nale˙za do zbioru liczb zespolonych C. Mamy w tej sytuacji r´ owno´ s´ c v(x) = a(x − u1) · ... · (x − ud) gdzie a ∈ R. Na mocy twierdzenia ?? o wzorach Viety, v(x) = ax d − aS 1(u1, ..., ud)x d−1 + ... + (−1)daS d(u1, ..., ud) i Sk(u1, ..., ud) ∈ R dla ka˙zdego k = 1, ..., d. Dla dowolnego h ∈ Z zdefiniujmy wielomian vh(x, x1, ..., xd) = 1≤i
(…)
… jako przestrze´ wektorowa nad K). L jest rozszerzenienm
n
niesko´ czonym L, je´li nie jest rozszerzeniem sko´czonym.
n
s
n
Element a ∈ L nazywamy algebraicznym nad K je´li a jest pierwiastkiem
s
pewnego, nie zerowego wielomianu v ∈ K[x]. Liczba algebraiczna nazywamy
dowolny element algebraiczny nad cialem Q.
√
√
√
Przyklad 2.1 Liczby i, 3, 2 − 3 oraz i + 3 sa liczbami algebraicznymi.
√
Sprawd´my, ze a = 2 − 3 jest liczba algebraiczna.
z
˙
√
˙
Rzeczywi´cie, a2 = 2 − 3. Stad 3 = a4 − 4a2 + 4 i widzimy, ze a jest
s
pierwiastkiem wielomianu x4 − 4x2 + 1 ∈ Q[x].
Element a ∈ L nazywamy elementem przestepnym nad K (gdzie L : K),
je˙ eli a nie jest algebraiczny nad K. Elementy przestepne nad Q nazywamy
z
liczbami przestepnymi.
Rozszerzenie L ciala K nazywamy algebraicznym je˙ eli ka˙ dy element a ∈
z
z
L…
… sie w a.
Oznaczmy przez Wk zbi´r wielomian´w postaci a0 + a1 x + ... + an xn ∈ Z[x] tao
o
kich, ze n + |a0 | + |a1 | + ... + |an | ≤ k. Dla ka˙ dego k ∈ N zbi´r Wk jest sk´czony
˙
z
o
n
oraz k∈N Wk = Z[x], a wiec Z[x] jest zbiorem przeliczalnym. Poniewa˙ za´
z s
ka˙ dy wielomian ma sko´czona (a wiec przeliczalna) liczbe pierwiastk´w, zbi´r
z
n
o
o
wszystkich pierwiastk´w wszystkich wielomian´w o wsp…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)