To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wyklad 14 15 stycznia 2013 Przypominam o terminach egzamin´ ow! I termin: 29 stycznia II termin: 4 luty III termin: 18 luty Wszystkie egzaminy pisemne w sali 1.8, B-7. Je´ sli sie nie zmie´ scimy (a na pewno sie nie zmie´ scimy w niekt´ orych terminach), to zarezerwowane sa tak˙ze 1.9 i 2.1. 1 Rozszerzenia cial Rozszerzeniem ciala K nazywamy cialo L takie, ˙ze istnieje monomorfizm T : K → L. Piszemy wtedy L : K (taki napis czytamy cialo L jest rozszerze- niem ciala K). Oczywi´ scie, je´ sli cialo K jest podcialem ciala L, w´ owczas L : K. Co wiecej, z taka sytuacja bedziemy mieli do czynienia najcze´ sciej (cho´ c nie zawsze). Cza- sami cialo K nazywamy malym za´ s L du˙zym. Te sytuacje mo˙zna przedstawi´ c na rysunku - K T (K) L T 1 1 ROZSZERZENIA CIAL 2 Obraz ciala K przez monomorfizm T , oznaczany przez ImT K (lub T (K)) mo˙zemy identyfikowa´ c z K jako, ˙ze T (K) jest cialem izomorficznym z K. Na zasadzie tego wla´ snie izomorfizmu mo˙zemy traktowa´ c K jako podcialo ciala L (tak jak przyzwyczaili´ smy sie to robi´ c dla ciala liczb rzeczywistych, kt´ ore traktujemy czesto jak podcialo liczb zespolonych mimo, ˙ze w sensie formalnym nie jest ono podzbiorem zbioru liczb zespolonych). Niech L : K, X ⊂ L. Cialem generowanym w K przez X nazywamy najmniejsze cialo zawierajace X i T (K). Takie cialo oznaczamy przez K . Je´ sli zbi´ or X jest sko´ nczony, na przyklad X = {a1, ..., an} w´ owczas piszemy K zamiast K . Cialo generowane przez X ⊂ K jest r´ owne: • przecieciu wszystkich podcial ciala L zawierajacych X ∪ T (K), • zbiorowi element´ ow kt´ ore mo˙zna otrzyma´ c w ciagu sko´ nczonym operacji (dziala´ n w ciele) na elementach z X i K. Przyklad 1.1 Q Rozszerzenie ciala K o element a ∈ L nazywamy rozszerzeniem prostym i oznaczamy przez K (zamiast K ). ´ Cwiczenie 1.1 Sprawd´ z, ˙ze Q jest rozszerzeniem prostym. Przypomnijmy poznane ju˙z wcze´ sniej pier´ scienie ilorazowe. Je˙zeli I jest idealem pier´ scienia P , w´ owczas iloraz P/I jest pier´ scieniem. Pa- mietamy, ˙ze zerem tego pier´ scienia jest I za´ s elementami zbiory postaci a + I gdzie a ∈ P . Dzialania w pier´ scieniu sa wtedy okre´ slona wzorami: (a + I) + (b + I) = (a + b) + I (a + I)(b + I) = ab + I Przypomnijmy tak˙ze, ˙ze je´ sli K jest cialem, to K[x] jest pier´
(…)
… wielomianu o wsp´lczynnikach zespolonych sa zespo˙
o
lone, znane jest od poczatku XVII wieku, niemniej jego pierwszy uznany za
poprawny dow´d pochodzi od Gaussa1 . Gauss podal wiele dowod´w Zasadnio
o
czego Twierdzenia Algebry. Istnieja tak˙ e dowody autorstwa innych matmaz
tyk´w. Wszystkie te dowody korzystaja w mniejszym lub wiekszym stopniu z
o
wynik´w analizy matematycznej. Poni˙ ej przedstawiony dow´d jest jednym z
o
z
o
dowod´w pochodzacych od Gaussa. Jest - w por´wnaniu z innymi dowodami
o
o
tego twierdenia - niezbyt trudny i wykorzystuje wcze´niej udowodnione twiers
dzenia o istnieniu ciala rozkladu oraz o wielomianach symetrycznych i wniosku
z tego twierdzenia. Analiza matematyczna, kt´ra interweniuje w tym dowodzie
o
jest na bardzo elementarnym poziomie. Wykorzystywany jest jedynie doskonale znany…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)