Równania różniczkowe liniowe rzędu n - omówienie

Równania różniczkowe liniowe rzędu n
Def. Równanie y(n) + pn-1 (x) y(n-1) + pn-2 (x) y(n-2) + ...+ p1 (x) y' + p0 (x) y = f (x) gdzie pk k = 0, 1, ..., n-1.
f są funkcjami rzeczywistymi ciągłymi w nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu n.
Jeżeli f (x) = 0 to równanie
y(n) + pn-1 (x) y(n-1) + pn-2 (x) y(n-2) + ...+ p1 (x) y' + p0 (x) y = 0 (**)
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu n .
Własność 1: Jeżeli y1 (x), y2 (x),..., yn (x) są całkami równania (**) to funkcja y (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) +... + Cn yn (x) przy dowolnym wyborze stałych C1, C2, ..., Cn też jest rozwiązaniem równania (**)
Własność 2: Jeżeli funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej w (x) = u (x) + v (x) jest rozwiązaniem równania (**), to część rzeczywista u (x), część urojona v (x) też jest rozwiązaniem równania (**)
Def. Układ całek y1 (x), y2 (x),..., yn (x) równania (**) nazywamy układem podstawowym całek dla równania (**) jeżeli wrońskian tzn. Własność 3: Jeżeli y1 (x), y2 (x),..., yn (x) stanowią układ podstawowy całek równania (**), to funkcja y (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) +... + Cn yn (x) jest całką ogólną równania jednorodnego (**).
Tw. CORN = CORJ + CSRN
y (x) = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x) +... + Cn (x) yn (x) gdzie Ck (x) k=0, 1, ..., n są takie, że spełniają C1' (x) y1 (x) + C2' (x) y2 (x) + ... + Cn' (x) yn (x) = 0
C1' (x) y1'(x) + C2' (x) y2' (x) + ... + Cn' (x) yn' (x) = 0
C1' (x) y1n-2(x) + C2' (x) y2n-2 (x) + ... + Cn' (x) ynn-2 (x) = 0
C1' (x) y1n-1(x) + C2' (x) y2n-1 (x) + ... + Cn' (x) ynn-1 (x) = f (x)
Równania liniowe rzędu n o stałych współczynnikach (*) y(n) + pn-1 y(n-1) + pn-2 y(n-2) + ...+ p1 y' + p0 y = f (x)
(**) y(n) + pn-1 y(n-1) + pn-2 y(n-2) + ...+ p1 y' + p0 y = 0
Poszukujemy rozwiązania równania (**) postaci y = erx y' = rerx y” = r2 erx y(n) = rn erx po wstawieniu do (**) dostajemy równanie charakterystyczne
rn + pn-1 rn-1 + pn-2 rn-2 + ... + p1r + p0 = 0
Równanie charakterystyczne ma n różnych pierwiastków rzeczywistych r1, r2, rn wówczas całki y1 = er1x, y2 = er2x, yn = ernx stanowią układ podstawowy całek dla równania (**)
y = C1 er1x + C2 er2x + ... + Cn ernx CORJ
2) Jeżeli r0 jest k- krotnym pierwiastkiem rzeczywistym równania charakterystycznego, to całki związane z tym pierwiastkiem są następujące y1 = er0x, y2 = xer0x, yk = xk-1 er0x Te całki wraz z pozostałymi stanowią układ podstawowych całek dla równania (**)
... zobacz całą notatkę