To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Równania różniczkowe wyższych rzędów
1
Równania różniczkowe wyższych rzędów
Równanie y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y + a0 y = f (x) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym
rzędu n o stałych współczynnikach. (Współczynnik przy y (n) wynosi tu jeden - można tak przyjąć
bez zmniejszania ogólności, bo jeśli by tak nie było, to po podzieleniu całego równania przez ten współczynnik
otrzymalibyśmy taką właśnie postać).
Jeżeli f (x) ≡ 0 to równanie to nazywamy liniowym jednorodnym,
w przeciwnym przypadku – niejednorodnym.
Najpierw rozwiązujemy zawsze odpowiednie równanie jednorodne. Rozwiązanie równania zależy od pierwiastków
tzw. równania charakterystycznego: rn + an−1 rn−1 + . . . + a1 r + a0 = 0,
• Każdemu jednokrotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu r0 odpowiada funkcja y0 (x) = er0 x
• Każdemu k -krotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu r0 odpowiada k funkcji:
y1 (x) = er0 x ,
y2 (x) = xer0 x ,
y3 (x) = x2 er0 x
...
yk (x) = xk−1 er0 x .
• Każdemu nierozkładalnemu nad R trójmianowi postaci (x − α)2 + β 2 odpowiadają dwie funkcje:
y(x) = eαx cos βx
oraz
z(x) = eαx sin βx.
• Każdemu k -krotnemu nierozkładalnemu nad R trójmianowi postaci ((x − α)2 + β 2 )k odpowiada
2k funkcji:
y1 (x) = eαx cos βx,
y2 (x) = xeαx cos βx,
...,
yk (x) = xk−1 eαx cos βx,
z1 (x) = eαx sin βx,
z2 (x) = xeαx sin βx,
...,
zk (x) = xk−1 eαx sin βx.
Rozwiązaniem równania liniowego jednorodnego n-tego rzędu o stałych współczynnikach jest kombinacja liniowa funkcji y1 , y2 , . . . , yn odpowiadających wszystkim kolejnym pierwiastkom równania charakterystycznego,
tzn. funkcja y = C1 y1 + ... + Cn yn .
Równanie niejednorodne rozwiązujemy metodą uzmienniania stałych lub metodą przewidywań.
Metoda uzmienniania stałych polega na zastąpieniu stałych Ci w rozwiązaniu ogólnym równania jednorodnego funkcjami Ci (x), których pochodne wyznaczamy z układu:
+
C2 (x) y2 (x)
+ ... +
Cn (x) yn (x)
=
0
C1 (x) y1 (x)
C (x) y (x)
=
0
+
C2 (x) y2 (x)
+ ... +
Cn (x) yn (x)
1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(n−1)
(n−1)
(n−1)
C1 (x) y1
(x) + C2 (x) y2
(x) + . . . + Cn (x) yn
(x) = f (x)
Metodę przewidywań możemy stosować wtedy, gdy funkcja f (x) jest postaci Wm (x)eax sin bx lub
Wm (x)eax cos bx (Wm (x) jest wielomianem m-tego stopnia) albo jest sumą funkcji tego typu. Rozwiązanie
ogólne równania niejednorodnego jest zawsze sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i pewnego
rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Metoda przewidywań pozwala na znalezienie tego właśnie
rozwiązania szczególnego. Jeżeli f (x) jest sumą funkcji to dla każdego składnika oddzielnie szukamy rozwiązania szczególnego.
Najogólniej mówiąc, rozwiązanie szczególne jest postaci podobnej do postaci funkcji f (x) a konkretnie:
• jeżeli f (x) jest wielomianem stopnia m i liczba 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)