To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
7.8
Rozwiązanie równania niejednorodnego
Definicja 7.13 (Równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach)
Równaniem różniczkowym liniowym o stałych współczynnikach niejednorodnym nazywamy
równanie (Ln ), gdzie a1 , a2 , . . . , an−1 ∈ R oraz funkcja q nie jest tożsamościowo równa
zeru. Równanie niejednorodne będziemy oznaczać (LNn ).
y (n) + an−1 y (n−1) + an−2 y (n−2) + . . . + a0 y = q(x)
(LNn )
Twierdzenie 7.9 Jeżeli funkcje φ , ρ są rozwiązaniami równania niejednorodnego
(LNn ), to ich różnica (φ − ρ) jest rozwiązaniem równania jednorodnego (LJn ).
Twierdzenie 7.10 (Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego) Niech φ będzie dowolnym rozwiązaniem równania niejednorodnego (LNn ) i niech (y1 , y2 , . . . , yn )
będzie fundamentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego (LSn ) . Wtedy dla każdego rozwiązania y(x) równania niejednorodnego (LNn ) istnieją jednoznacznie określone
stałe rzeczywiste C1 , C2 , . . . , Cn takie, że:
y(x) = C1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x) + φ(x)
Wniosek 7.3 Powyższe twierdzenie oznacza, że mając fundamentalny układ rozwiązań
równania (LJn ) i jedno rozwiązanie równania (LNn ) można przez dobór stałych
C1 , C2 , . . . , Cn znaleźć rozwiązanie z dowolnymi warunkami początkowymi.
Sumę rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i dowolnego rozwiązania równania niejednorodnego nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego i oznaczamy yRORN :
yRORN (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x) +φ(x)
yRORJ
7.9
Metody znajdowania rozwiązania równania niejednorodnego (LNn )
.
1. Metoda współczynników nieoznaczonych - metoda przewidywań
Metodę tę stosujemy tylko do równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o
stałych współczynnikach, których prawa strona ma postać:
q(x) = eαx
ck xk + ck−1 xk−1 + . . . + c1 x + c0 cos βx + bl xl + bl−1 xl−1 + . . . + b1 x + b0 sin βx (⋆
Twierdzenie 7.11 Niech dane będzie równanie:
y (n) + an−1 y (n−1) + an−2 y (n−2) + . . . + a0 y = q(x)
(LNn )
gdzie q(x) jest postaci (⋆).
Jeżeli liczba σ = α + i β jest pierwiastkiem krotności s wielomianu charakterystycznego równania jednorodnego (LJn ), to rozwiązanie równania (LNn ) ma
postać:
φ(x) = xs eαx
Am xk + Am−1 xk−1 + . . . + A1 x + A0 cos βx
55
+ Bm xm + Bm−1 xm−1 + . . . + B1 x + B0 sin βx
przy czym m = max(k, l), a A0 , A1 , . . . , Am , B0 , B1 , . . . , Bm są odpowiednio dobranymi współczynnikami rzeczywistymi.
Jeżeli σ = α + i β nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to w
powyższym wzorze przyjmujemy s=0.
Przykład 7.15
Wyznaczyć postacie rozwiązań podanych równań różniczkowych:
a) y” − y ′ = ex
b) y” − y ′ = x
c) y (4) + y” = sin x
d) y (4) + y” = 2x2 + x + 1
2. Metoda uzmienniania stałych
Twierdzenie 7.12
Jeżeli (y1 , y2 , . . . , yn ) jest fundamentalnym układem rozwiązań równania liniowego
jednorodnego (LSn ) oraz ciąg funkcji C1 , C2 , . . . , Cn jest dowolnym rozwiązaniem
układu równań:
y1 (x)
′
y1 (x)
.
.
.
(n−1)
y1
y2 (x)
′
y2 (x)
.
.
.
(n−1)
(x) y2
yn (x)
′
yn (x)
.
.
.
...
...
..
.
(n−1)
(x) . . . yn
(x)
′
C1 (x)
′ (x)
C2
.
.
.
′
Cn (x)
=
0
0
.
.
.
q(x)
to funkcja
φ(x) = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) + . . . + Cn (x)yn (x)
jest rozwiązaniem równania (LNn ).
Uwaga 7.6
′
′
′
Powyższy układ równań z niewiadomymi C1 (x), C2 (x), . . . , Cn (x) ma jednoznaczne rozwiązanie, gdyż jego wyznacznik jest wrońskianem fundamentalnego układu
rozwiązań równania (LJn ), więc jest różny od zera.
Przykład 7.16 Znaleźć rozwiązania zagadnień początkowych:
a) y” − 2y ′ + y = ex arctg x , y(0) = 1 , y ′ (0) = 0
√
b) y” + 3y ′ + 2y = 1 − ex y(0) = 1 y ′ (0) = 0
56
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)