Twierdzenie 7.4 (Istnienie i jednoznaczność rozwiązań)
Jeżeli funkcje a0 , a1 , . . . , an−1 , q są ciągłe na przedziale (a, b) oraz
x0 ∈ (a, b) , yi ∈ R, to zagadnienie początkowe (Ln ) (W Ln ) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to określone jest na przedziale (a, b).
Przykład 7.11 Uzasadnić, że jedynym rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego:
y (n) − 1 = 0 , y (k) (0) = ck ,
jest wielomian y(x) =
7.5
xn
n!
+
cn−1 xn−1
(n−1)!
+
cn−2 xn−2
(n−2)!
k = 0, 1, . . . , n − 1
+ . . . + c1 x + c0 .
Równania różniczkowe liniowe jednorodne
Definicja 7.8
Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym nazywamy równanie (Ln ) jeśli funkcja q(x) ≡ 0. Równanie to oznaczymy (LJn ).
y (n) + an−1 (x) y (n−1) + an−2 (x) y (n−2) + . . . + a0 (x) y = 0
(LJn )
Twierdzenie 7.5
Rozwiązania równania (LJn ) tworzą przestrzeń liniową.
Dowód:
Niech funkcje φ1 , φ2 spełniają równanie (LJn ).Wystarczy pokazać, że dla dowolnych stałych α, β ∈ R funkcja α φ1 (x) + β φ2 (x) również spełnia równanie (LJn ):
(α φ1 (x) + β φ2 (x))(n) + an−1 (x)(α φ1 (x) + β φ2 (x))(n−1) + . . . + a0 (x)(α φ1 (x) + β φ2 (x)) =
α (φ1 (x))(n) + an−1 (x) φ1 (x))(n−1) + . . . + a0 (x) φ1 (x))+
+β (φ2 (x))(n) + an−1 (x) φ2 (x)(n−1) + . . . + a0 (x) φ2 (x)) = 0
Wykazaliśmy, że kombinacja liniowa dowolnych dwóch rozwiązań równania (LJn ) jest również rozwiązaniem tego równania.
♥
Uwaga 7.3 Zbiór funkcji określonych na wspólnej dziedzinie jest przestrzenią liniową.
Funkcje będące rozwiązaniami równania (LJn ) tworzą podprzestrzeń.
Przypomnijmy definicję liniowej niezależności i zależności elementów przestrzeni liniowej
(wektorów):
Definicja 7.9 (Liniowa zależność i niezależność funkcji)
Funkcje g1 , g2 , . . . , gn są liniowo niezależne, jeżeli z tożsamości
α1 g1 (x) + α2 g2 (x) + . . . + αn gn (x) ≡ 0 na przedziale (a, b)
wynikają równości:
α1 = α2 = . . . = αn = 0
2
2
2
Jeżeli istnieją liczby rzeczywiste α1 , α2 , . . . , αn , α1 + α2 + . . . , αn 0 takie, że α1 g1 (x) +
α2 g2 (x) + . . . , αn gn (x) ≡ 0 to funkcje g1 , g2 , . . . , gn nazywamy liniowo zależnymi.
51
Definicja 7.10 (Wrońskian układu funkcji)
Wrońskianem układu funkcji (y1 , y2 , . . . , yn ) nazywamy wyznacznik:
W (y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)) =
y1 (x)
′
y1 (x)
.
.
.
(n−1)
y1
y2 (x)
′
y2 (x)
.
.
.
(n−1)
(x) y2
...
...
..
.
yn (x)
′
yn (x)
.
.
.
(n−1)
(x) . . . yn
(x)
Twierdzenie 7.6 (Liniowa niezależność rozwiązań)
Rozwiązania równania liniowego jednorodnego (LJn ) są na przedziale (a, b) liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x ∈ (a, b) spełniają warunek
W (y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)) = 0
dowód:
1. ” ⇒ ” Zaprzeczmy tezie: ∃x0 ∈ (a, b) : W (y1 (x0 ), y2 (x0 ), . . . , yn (x0 )) = 0. Wtedy
uklad równań liniowych:
α1 y1 (x0 ) + α2 y2 (x0 ) + . . . + αn yn (x0 ) = 0
′
′
′
α1 y1 (x0 ) + α2 y2 (x0 ) + . . . + αn yn (x0 ) = 0
.................................
(n−1)
(n−1)
(n−1)
α1 y1
(x0 ) + α2 y2
(x0 ) + . . . + αn yn
(x0 ) = 0
ma niezerowe rozwiązanie α1 , α2 , . . . , αn .
To oznacza, że funkcja y(x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x) + . . . + αn yn (x) spełnia równanie
(LJn ) oraz zerowe warunki początkowe.
Na mocy twierdzenia 3.1 jedynym takim rozwiązaniem jest rozwiązanie tożsamościo2
2
2
wo równe zero: y(x) ≡ 0. Zatem istnieją liczby rzeczywiste αi , α1 +α2 +. . .+αn 0
takie, że α1 y1 (x) + α2 y2 (x) + . . . + αn yn (x) ≡ 0 , więc funkcje y1 , y2 , . . . , yn są
liniowo zależne.
2. ” ⇐ ” Niech dla każdego x ∈ (a, b) W (y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)) = 0
Rozpatrzmy funkcję y(x) ≡ 0 taką, że y(x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x) + . . . + αn yn (x).
Wtedy dla każdego x ∈ (a, b)
α1 y1 (x) + α2 y2 (x) + . . . + αn yn (x) = 0
′
′
′
α1 y1 (x) + α2 y2 (x) + . . . + αn yn (x) = 0
.................................
(n−1)
(n−1)
(n−1)
(x) = 0
(x) + . . . + αn yn
(x) + α2 y2
α1 y1
Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu równań liniowych o wyznaczniku
W (y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)) = 0 jest rozwiązanie zerowe. Zatem
α1 y1 (x) + α2 y2 (x) + . . . + αn yn (x) ≡ 0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0
co oznacza liniową niezależność rozwiązań y1 , y2 , . . . , yn .
♥
Definicja 7.11 (Fundamentalny układ rozwiązań)
Ciąg (y1 , y2 , . . . , yn ) liniowo niezależnych rozwiązań równania (LJn ) nazywamy jego fundamentalnym układem rozwiązań.
52
Twierdzenie 7.7 (Postać rozwiązania równania liniowego jednorodnego)
Niech (y1 , y2 , . . . , yn ) będzie fundamentalnym układem rozwiązań równania (LJn ). Wtedy
dla każdego rozwiązania φ tego równania istnieją jednoznacznie określone stałe rzeczywiste
C1 , C2 , . . . , Cn takie, że
φ(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x)
Dowód:
Niech rozwiązanie φ będzie tym jedynym rozwiązaniem równania (LJn ) , które spełnia
warunek początkowy:
φ(x0 ) = φ0 , φ′ (x0 ) = φ1 , . . . , φ(n−1) (x0 ) = φn−1
Wtedy stałe C1 , C2 , . . . , Cn są jedynym rozwiązaniem układu oznaczonego:
C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = φ0
′
′
C1 Y1′ (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + . . . + Cn yn (x0 ) = φ1
.
.
.
(n−1)
C1 y1
(n−1)
(x0 ) + C2 y (n−1) (x0 ) + . . . + Cn yn
(x0 ) = φn−1
♥
Wniosek 7.1 Przestrzeń liniowa rozwiązań równania jednorodnego (LJn ) jest przestrzenią n wymiarową.
7.6
Równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach
Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym o stałych współczynnikach nazywamy
równanie (LJn ), w którym funkcje ai są stałymi:
y (n) + an−1 y (n−1) + an−2 y (n−2) + . . . + a0 y = 0
(LSn )
Uwaga 7.4 Każde rozwiązanie równania różniczkowego liniowego jednorodnego o stałych
współczynnikach jest określone na R.
7.7
Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach
Naszym zadaniem jest wyznaczenie fundamentalnego układu rozwiązań równania:
y (n) + an−1 y (n−1) + an−2 y (n−2) + . . . + a0 y = 0
(LSn )
Przypuśćmy, że rozwiązanie ma postać: y(x) = eλ x . Po podstawieniu do równania (LSn )
otrzymujemy:
Wniosek 7.2 Funkcja y(x) = eλ x jest rozwiązaniem równania (LSn ) , jeśli liczba λ
jest pierwiastkiem wielomianu
λn + an−1 λn−1 + an−2 λn−2 + . . . + a0 = 0
53
Definicja 7.12 (Wielomian charakterystyczny, równanie charakterystyczne)
Równanie
λn + an−1 λn−1 + an−2 λn−2 + . . . + a0 = 0
nazywamy równaniem charakterystycznym równania (LSn ). Natomiast wielomian
W (λ) = λn + an−1 λn−1 + an−2 λn−2 + . . . + a0
nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.
Uwaga 7.5 Wielomian charakterystyczny równania (LSn ) jest wielomianem n-tego stopnia o współczynnikach rzeczywistych. W zbiorze liczb zespolonych ma dokładnie n pierwiastków ( uwzględniając ich krotność). Ponadto jeśli liczba λ jest jego pierwiastkiem ze¯
spolonym, to również λ jest jego pierwiastkiem.
Przykład 7.12 Wyznaczyć wielomiany charakterystyczne oraz ich pierwiastki dla równań:
a) y (4) − y” = 0
b) y (4) + y” = 0
Przykład 7.13 Podać równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach, jeżeli ich równania charakterystyczne mają postać:
a) λ3 − λ + 1 = 0
b) λ2 + 1 = 0
c) λ2 (λ − 3) (λ + 4) = 0
Przykład 7.14
Wyznaczyć równania różniczkowe jednorodne o stałych współczynnikach możliwie najniższego rzędu, jeżeli podane są pierwiastki wielomianów charakterystycznych:
a) λ1 = 2 , λ2 = −3 , λ3 = 0
b) λ1 = i , λ2 = −2i
Twierdzenie 7.8 (Fundamentalny układ rozwiązań równania (LSn ))
Niech λ będzie pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (LSn ). Wówczas:
1. Jeżeli λ jest k-krotnym pierwiastkiem rzeczywistym, to każda z funkcji:
eλx , xeλx , . . . , xk−1 eλx
jest rozwiązaniem równania (LSn );
¯
2. Jeżeli λ = α + iβ i λ = α − iβ, β 0, są k-krotnymi pierwiastkami zespolonymi,
to każda z 2k funkcji
eαx cos βx, eαx sin βx, xeαx cos βx, xeαx sin βx, . . . , xk−1 eαx cos βx, xk−1 eαx sin βx
jest rozwiązaniem równania (LSn ). Ponadto funkcje zestawione w ten sposób dla
wszystkich pierwiastków wielomianu charakterystycznego równania (LSn ) (jest ich
n) tworzą jego fundamentalny układ rozwiązań.
Kombinacja liniowa tych funkcji jest rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego liniowego jednorodnego.
Oznaczmy rozwiązanie ogólne przez yRORJ . Z powyższego twierdzenia wynika:
yRORJ = c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn
gdzie y1 , y2 , . . . , yn jest fundamentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego.
54
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)