Wykład - równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 609
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wykład - równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów - strona 1 Wykład - równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów - strona 2 Wykład - równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów - strona 3

Fragment notatki:

2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW
2.1 POJĘCIA WSTĘPNE
Def. 2.1.1 (Równanie różniczkowe liniowe rzędu n)
Równaniem różniczkowym liniowym rzędu n nazywamy równanie postaci
(Ln)
y ( n)  p1 (t ) y ( n1)  p2 (t ) y ( n2)  ...  pn1 (t ) y' pn (t ) y  h(t ) .
Uwaga. Jeżeli n = 2, to będziemy pisali p(t) i q(t) zamiast odpowiednio p1(t) i p2(t). Równanie różniczkowe liniowe rzędu
drugiego ma wtedy postać
(L2)
y' ' p(t ) y'q(t ) y  h(t ) .
Tw. 2.1.2 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla równania (Ln))
Niech funkcje p1(t), p2(t), ..., pn(t) i h(t) będą ciągłe na przedziale (a,b). Wtedy dla każdego punktu (t0, y0, y1, ..., yn-1)  (a,b) 
Rn zagadnienie początkowe
y ( n)  p1 (t ) y ( n1)  p2 (t ) y ( n2)  ...  pn1 (t ) y' pn (t ) y  h(t ) ,
y(t 0 )  y0 , y' (t 0 )  y1 , ..., y ( n1) (t 0 )  y n1
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale (a,b).
2.2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE
Def. 2.2.1 (równanie różniczkowe liniowe jednorodne)
Równaniem różniczkowym jednorodnym rzędu n nazywamy równanie postaci
(LJn)
y ( n)  p1 (t ) y ( n1)  p2 (t ) y ( n2)  ...  pn1 (t ) y' pn (t ) y  0 .
Uwaga. Dla równania drugiego rzędu w tym przypadku (LJ 2) piszemy p(t) i q(t) zamiast odpowiednio p1(t) i p2(t), czyli
(LJ2)
y' ' p(t ) y'q(t ) y  0 .
Fakt 2.2.2 (o kombinacji liniowej rozwiązań równania jednorodnego)
Niech (t), (t) będą rozwiązaniami równania jednorodnego (LJ n). Wtedy dla dowolnych stałych ,  funkcja
y(t )  (t )   (t ) jest także rozwiązaniem tego równania.
Uwaga. Inaczej mówiąc, dowolna kombinacja liniowa rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego jest
również rozwiązaniem tego równania.
Def. 2.2.3 (układ fundamentalny równania (LJ n))
Układ n rozwiązań (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) równania jednorodnego (LJn) określonych na przedziale (a,b) nazywamy układem
fundamentalnym tego równania na tym przedziale, jeżeli dla każdego t  (a,b) spełniony jest warunek
 y1 (t )
 y ' (t )
det  1
 
 ( n 1)
 y1 (t )
y 2 (t )
y 2 ' (t )

(
y 2n 1) (t )

y n (t ) 
 y n ' (t ) 
  0.

 

(
 y nn 1) (t )
Uwaga. Powyższy wyznacznik oznaczamy przez W(y1(t), y2(t), ..., yn(t)) i nazywamy wrońskianem układu funkcji (y1(t), y2(t),
..., yn(t)).
Fakt 2.2.4 (Wzór Liouville’a)
Niech (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) będzie układem n rozwiązań równania jednorodnego (LJ n) określonych na przedziale (a,b). Wtedy
ich wrońskian W(t) = W(y1(t), y2(t), ..., yn(t)) spełnia warunek
t
W (t )  W (t 0 )e

 p1 ( ) d
t0
,
gdzie t0 jest dowolnym punktem z przedziału (a,b).
Fakt 2.2.5 (o postaci rozwiązania ogólnego równania liniowego jednorodnego)
Niech (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (LJn). Wtedy rozwiązanie ogólne tego
równania dane jest wzorem
y(t )  C1 y1 (t )  C2 y 2 (t )  ...  Cn y n (t ) ,
gdzie C1, C2, ..., Cn są dowolnymi stałymi rzeczywistymi.
Uwaga. Przypominamy, że z rozwiązania ogólnego ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz