Wykład - Równania różniczkowe zwyczajne

Ekonomia matematyczna prof. UE dr ha. Henryk Zawadzki
Wykład 9
Równania różniczkowe zwyczajne
Pod koniec XVIIw powstała teoria równań różniczkowych. Izaak Newton, G.W. Leibniz
Definicja
Równanie różniczkowe zwyczajne jest to równanie w którym występują pochodne yI,yII, ...y (n) pewnej nieznanej funkcji y=y(t)
t- zmienna niezależna y- zmienna zależna
W równaniu różniczkowym może też wystąpić szukana funkcja y=y(t) oraz zmienna niezależna t
Założenie
F(t, y, yI, yII,... y(n) )=0 (1)
F:Rn+1 R (n≥1)
F- jest ciągła w otwartym zbiorze URn+2 Najczęściej t(-,) lub t

(…)

… liniowe jest o stałych współczynnikach
Gdy funkcja g jest identycznie równa 0 dla tI to równanie (3) nazywamy równaniem jednorodnym a jeżeli nie jest identyczne to nazywamy równaniem niejednorodnym
Przykład 4
5yIII + (sint)yII- et y=0  równanie liniowe III rzędu jednorodne
Definicja
Rozwiązaniem równania różniczkowego (1) nazywamy każdą funkcję y=y(t) posiadającą dla tI pochodne aż do n-tego rzędu…
…. Szczególnym równanie różniczkowego
Rozw rów różniczkowego które nie może być otrzymane z rów ogólnego w wyżej opisany sposób nazywamy rozw. Osobliwym
Równanie roż może (ale nie musi) posiadać rozw. Osobliwego
Przykład7
Y II +y=0 (*)
Y(t)=c1 cost +c2 sint (c1, c2R)
Rozw nie posiada rozw różniczkowego
Przykład8
(y I)3-y=0
y(t)0 rozw osobliwe
T: Warunki początkowe i brzegowe . Problem Cauchiego
Chcąc…
... zobacz całą notatkę