Wykład - Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Ekonomia matematyczna prof. UE dr ha. Henryk Zawadzki
Wykład 10
Równania różniczkowe pierwszego rzędu
Równania o zmiennych rozdzielonych
Jeżeli funkcję f daje się przedstawić w postaci ilorazu
To daje się przedstawić w postaci Można je także zapisać w postaci:
P(t,y)dt+Q(t,y)dy=0 (2) postać różniczkowa
Definicja
Równanie różniczkowe I-ego rzędu nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych jeżeli ma poniższą postać różniczkową P(t)dt+Q(y)dy=0 (3)
UWAGA
Równanie postaci
M(t)N(y)dt+P(t)Q(y)dy=0 (4) równanie o zmiennych separowanych
Można łatwo sprowadzić do postaci (3) dzieląc je stronami przez iloczyn N(y)P(t)
Aby znaleźć rozwiązanie ogólne równania (3) wystarczy scałkować to równanie stronami
Równanie (5) daje uwikłany związek między zmiennymi y i t, czyli związek postaci
(t,y,c)=0 (6)
Równanie (6) jest to całka ogólna równanie (3)
Jeżeli potrafimy z równania (6) wyznaczyć y jako funkcje zmiennej niezależnej t, to otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania (3)
Y=y(t, c1)
Przykład1
Rozw ogólne równania (*)
Równanie (*) ma też rozwiązanie osobliwe y(t)0
Wiele równań różniczkowych I-rzędu daje się za pomocą różnego rodzaju przedstawień, przekształceń sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych np. równanie jednorodne i Bernoulliego
Jednorodne
YI=f(t,y) w których funkcja f jest funkcja jednorodną
Przykład2
Bernoulliego
YI + P(t)y=Q(t)yn Np.
YI-ty= -ty3 Liniowe równanie różniczkowe I-go rzędu
A1 (t)y I+ a0 (t) y=y(t) (7)
Jeśli dla tI a1(t)0
To równanie (7) przedstwić można w postaci
Rozwiązanie
Całkując stronami otrzymamy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (8I)
cR (9)
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (8) otrzymujemy stosując tzw. Metodę uzmienniania stałych
Poszukujemy rozwiązywania równania (8) wstając do niego funkcję
Otrzymujemy
Podstawiając powyższą funkcję do wzoru (9) otrzymujemy wzór na rozwiązanie ogólne niejednorodnego równania różniczkowego postaci I-go rzędu postaci (8)
Ze wzoru (10) widać, że rozwiązanie ogólne równanie (8) jest sumą:
-rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (8I)
-rozwiązania szczególnego równania równoważnego niejednorodnego (8) (po wstawieniu c

(…)

…
Definicja
Funkcje y1,...,yn nazywamy liniowo niezależnymi w przedziale I jeżeli
Przykład3
{1,t,t2} liniowo niezależne w I=(-,)
{1,t,0} nie są liniowo niezależne w I=(-,)
Wrońskian od J.M.Hoene-Wroński 1776-1853
Zał
Y1, y2,...yn funkcje n-1 krotnie różniczkowalne w I
Definicja
Twierdzenie
Niech funkcje y1=y1(t),...,yn =yn(t) (tI) będą rozwiązaniami równania
L[y]=0
Wkw ma to by funkcje te były liniowo…
... zobacz całą notatkę