Wykład - Pierwiastki rzeczywiste wielokrotne

Ekonomia matematyczna prof. UE dr ha. Henryk Zawadzki
Wykład 11
I Pierwiastki rzeczywiste wielokrotne
Twierdzenie
Jeżeli r jest k-krotnym (k≥1) pierwiastki równania charakterystycznego dla równania różniczkowego L[y]=0 to funkcja postaci: er t, ter t, ...t k-1er t są liniowo niezależnymi rozw równania różniczkowego L[y]=0
Przykład1
Y(7) +y(6) -6y(5) -6y(4) +9yIII +9yIII -4yI - 4y=0
Y(7) +y(6) -6y(5) -6y(4) +9yIII +9yIII -4yI - 4yL[y]
R7 +r6 +6r5 -6r4 +9r2 -4r -4 =0
R1= -2 R2= 2 r3=r4=r5= -1 r6=r7=1
Y1(t)=e -2t y6(t)=e t Y2(t)= e 2t y7(t)=te t Y3(t)=e -t Y4(t)= t e -t Y5(t)=t2 e -t Rozwiązanie ogólne:
Y(t)=c1y1(t)+...+c7y7(t)=c1e -2t+...+c7tet II Pierwiastki zespolone różne
Twierdzenie
Jeżeli równanie charakterystyczne (rów kwadratowe) ma dwa różne pierwiastki zespolone
R1= a +bi  r2=a-bi To rozw ogólne L[y]=0 ma postać
Przykład2
YIII - 3yII +9yI +13y=0
R3-3r2+9r+13=0
R1= -1 y1(t)= e -t R2=2 +3i y2(t)=e2tcos 3t
R3=2-3i y3(t)=e2tsin3t
Rozwiązanie ogólne:
III Wielokrotne pierwiastki zespolone
Przypuśćmy, że liczby r=abc są k-krotnymi zespolonymi pierwiastkami dla równanie L[y]=0. Pierwiastkom tym (a jest ich 2k)odpowiada 2k liniowo niezależnych rozwiązań równania L[y}=0 Rozwiązania te mają postać
Y1(t)=ea t cosbt y2(t)=ea t sinbt
Y3(t)=tea t cosbt y4(t)=tea t sinbt
Y5(t)=t2ea t cosbt y6(t)=t2ea t sinbt
............................. ............................
y2k-1(t)=tk-1 ea t cosbt y2k(t)=t k-1 ea t sinbt
Przykład3
Y(6) - 5y(5) +32yIII- 84yII+ 92yI -48y=0
R6-5r5+32r3-84r2+92r-48=0
R1= -3  y1(t)=e -3t R2=4  y2(t)=e 4t R3=r4=1-i  y3(t)=et sint  y4(t)=tet sint
R5=r6=1+i  y5(t)=et cost  y6(t)=tet cost
Ogólne rozwiązanie
IV Rozwiązanie ogólne równania L[y]=g(t) (*)
Twierdzenie
Jeżeli funkcje y1=y1(t),...y n= yn(t) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami L[y]=0 to rozwiązanie szczególne równania
Ma postać
Gdzie W(t) jest wrońskianem funkcji y1....y n natomiast
Przykład4
Y III- y II - y I +y= e t (*)
Ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego jest funkcja
... zobacz całą notatkę