Zestaw 2 1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji danej wzorem: (a) f (x, y) = x2 − xy + y2 − 2x + y, (b) f (x, y) = 2x4 + y4 − x2 − 2y2, (c) f (x, y) = 1 6 + x2 + 2x + y2 − 4y , (d) f (x, y) = x2 + xy + y2 − 4 ln x − 10 ln x, (e) f (x, y) = e − (x2+y2−2x), (f) f (x, y) = x3 + y3 − 3a xy, (g) f (x, y, z) = x + 2y + 2z + 1 x + y + 1 y + z + 1 z , (h) f (x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 2 z dla x 0, y 0, z 0. 2. Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji: (a) f (x, y) = 2x + 3y przy warunku x2 + y2 = 1, (b) f (x, y) = x2 + 12xy + 2y2 przy warunku 4x2 + y2 = 25, (c) f (x, y) = x − 2y + 2z przy warunku x2 + y2 + z2 = 1, (d) f (x, y) = x + y przy warunku 1 x2 + 1 y2 = 1 a2 , (e) f (x, y) = 1 x + 1 y przy warunku 1 x2 + 1 y2 = 1 4 . 3. Spośród wszystkich trójkątów o danym obwodzie 2a znaleźć ten, którego pole jest największe. 4. Na elipsie opisać trójkąt o najwększym polu o podstawie równoległej do osi elipsy. 5. Zadaną liczbę a 0 rozłożyć na sumę czterech składników tak, by suma ich kwadratów była najmniejsza. 6. Zadaną liczbę a 0 przedstawić w postaci iloczynu czterech czynników dodatnich tak, aby ich suma była najmniejsza. 7. Znaleźć odległość między parabolą y = x2 i prostą x − y − z = 0. 8. Wyznaczyć współrzędne punktów leżących na okręgu (x − 6) 2 + (y − 1)2 = 25, których od- ległość od punktu A = (0, −7) jest ekstremalna. 1 9. Znaleźć odległość między prostymi k i l zadanymi równaniami: k : x = 2 + t, y = 2t, z = 1 + t; t ∈ R, l : x = 3 + 2s, y = 2 + s, z = 1 + 3s; s ∈ R. 10. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w obszarze D: (a) f (x, y) = x2 + xy, D = {(x, y) ∈ R 2 : x2 ≤ y ≤ 4}, (b) f (x, y) = x2 − xy + y2, D = {(x, y) ∈ R 2 : |x| + |y| ≤ 1}, (c) f (x, y) = x2 + y2 − xy + x + y, gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (3, 0) oraz (0, 3). (d) f (x, y) = xy, D = {(x, y) ∈ R 2 : x2 + y2 ≤ 16}. 11. Wyznaczyć ekstrema funkcji y = ϕ (x), uwikłanej równaniem: (a) x2 − 2x + 4y2 − 16y = −11, (b) x2 − 8y3 − 4xy = 0, (c) x5 + y4 = 4xy2, (d) (x2 + y2) 2 = a2 (x2 − y2). 2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)