1. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = e −x2−y2 2x 2 + y2 . 2. Znaleźć ekstrema funkcji f (x, y) = 8x 2 − 24xy + y2, jeśli x2 + y2 ≤ 1. 3. Rozwiązać równanie liniowe: y − y x + x ln x = 0. 4. Obliczyć całkę krzywoliniową L y 2dx + x2dy, gdzie L jest krzywą zorientowaną dodatnio zadaną równaniem: (x − 1) 2 + y2 = 1. 5. Oblicz D (2x − 2y) dx dy, gdzie D : (x − 1) 2 + y2 ≤ 1. 6. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = e −x2−y2 2x 2 + y2 . 7. Znaleźć ekstrema funkcji f (x, y) = 8x 2 − 24xy + y2, jeśli x2 + y2 ≤ 1. 8. Rozwiązać równanie liniowe: y − y x + x ln x = 0. 9. Obliczyć całkę krzywoliniową L y 2dx + x2dy, gdzie L jest krzywą zorientowaną dodatnio zadaną równaniem: (x − 1) 2 + y2 = 1. 10. Oblicz D (2x − 2y) dx dy, gdzie D : (x − 1) 2 + y2 ≤ 1. 1 11. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji danej wzorem: f (x, y) = y3 x + 1 2 x 2 + 3z y + 3 z . 12. Obliczyć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami: x2 + y2 + z2 = 2, z = x2 + y2, y = 0, (y ≥ 0), y = x. 13. Obliczyć AB 1 + y2 dl, gdzie AB jest łukiem krzywej o równaniu y = ex zawartym pomiędzy punktami A = (0, 1) i B = (1, e). 14. Znaleźć rozwiązanie równania y + 2xy = x, y(0) = 1. 15. Wyznaczyć ekstrema funkcji danej wzorem f (x, y, z) = x2 z + z2 16y − x + y2 8 . 16. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 4 − x2 − y2, z = x2 + y2 oraz x2 + y2 = 1. 17. Obliczyć K x + y 2 dx + y 2 + 6xy dy, gdzie K jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y = ex, y = e, x = 0 zorientowa- nym zgodnie z ruchem wskazówek zegara. 18. Wyznaczyć ekstrema funkcji danej wzorem f (x, y, z) = y + z y + x z + 1 x . 19. Wyznaczyć ekstrema funkcji y = ϕ (x) uwikłanej równaniem: x 5 + 4y4 − 5xy2 = 0. 20. Obliczyć V 1 x2 + y2 dx dy dz, gdzie V jest obszarem ograniczonym, powierzchniami: z = 6 − x2 − y2 , z = x2 + y2 oraz x2 + y2 = 1 (gdzie x2 + y2 ≥ 1). 21. Obliczyć masę krzywej zadanej równaniem x = y2, y ∈ [0, 1], której gęstość w dowolnym jej punkcie jet równa odległości od osi OX. 2 22. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji danej wzorem: f (x, y) = y3 x + 1 2 x 2 + 3z y + 3 z . 23. Obliczyć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami: x2 + y2 + z2 = 2, z = x2 + y2, y = 0, (y ≥ 0), y = x. 24. Obliczyć
(…)
…, zorientowanego
od punktu A (1, 2) do punktu B (0, 3).
39. Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego:
3
y − 3x2 y = ex sin x
spełniające warunek y (0) = 2.
40. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:
f (x, y) = x4 + y 4 − x2 − 2xy − y 2 .
41. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y (x) określonej równaniem
y 3 + 2x2 y + x4 + 2 = 0.
42. Wyznaczyć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami:z = 1 + x2 + y 2 , z = 0…
… funkcji uwikłanej y (x) określonej równaniem
x3 y 2 + xy +
2
= 0.
9
47. Obliczyć pole powierzchni S wyciętej z płaszczyzny 2x+2y−z+10 = 0 walcami x2 +y 2 = 4,
x2 − 2x + y 2 = 0.
48. Obliczyć
3x2 y + y dx + 3x + x3 dy,
K
jeżeli K jest elipsą x2 + 4y 2 = 1, zorientowaną przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
49. Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego:
y + 6y = ex
spełniające warunek y (0) = 0.
50…
… do ruchu wskazówek zegara.
82. Oblicz całkę:
x2
dx dy,
y2
D
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = 2, y = x, xy = 1.
83. Oblicz minimum i maksimum funkcji
f (x, y) = x2 + 12xy + 2y 2 ,
na zbiorze D = {(x, y) ∈ R2 : 4x2 + y 2 = 25}.
√
√
84. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y 1 + x + x 1 + y.
85. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x, y) = x3 + 8y 3 − 3xy + 1.
86. Wyznaczyć…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)