EGZAMIN Z MATEMATYKI GIK II Nazwisko i imię Suma 1. Zbadać ciągłość funkcji f (x, y) = x2 (y−2) 2 x2 (y−2) 2+(x−y+2)4 , (x, y) = (0, 2) 1 , (x, y) = (0, 2) Czy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (0, 2) ? 2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: f (x, y) = 2y3 − x 2y + 5y2 + x2. 3. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej z = f (x, y) określonej równaniem: x2 + y2 + z2 − 2x + 2y − 5z + 2 = 0. 4. Znaleźć ekstrema warunkowe stosując metodę Lagrange’a: f (x1, x2, x3, x4) = x p 1 + x p 2 + x p 3 + x p 4, x1 + x2 + x3 + x4 = 1, p 1, ∀i ∈ {1, ..., 4} xi 0. 5. Obliczyć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami: x2 + y2 = z − 4, x 2 + y2 = z2, x2 + y2 = 1 x2 + y2 ≤ 1 . EGZAMIN Z MATEMATYKI GIK II Nazwisko i imię Suma 1. Zbadać ciągłość funkcji f (x, y) = x2 (y−2)2 x4 +(y−2)4 , (x, y) = (0, 2) 1 , (x, y) = (0, 2) Czy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (0, 2) ? 2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem: f (x, y) = y4 + 2x4 − (y − 2x) 2. 3. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y = f (x) określonej równaniem: y4 − 8xy − 4y + 8x 2 = 0. 4. Przedstaw poniższa sumę w postaci jednej całki iterowanej 1 0 dy √y 0 f (x, y)dx + 1 0 dx 3 1 f (x, y)dy + 3+ √ 3 3 dy 1 2− √ 4−(y−3) 2 f (x, y)dx 5. Wykorzystując współrzędne sferyczne obliczyć całkę: 0 −2 dx √ 4−x2 − √ 4−x2 dy 0 − √ 4−x2−y2 x2 + y2 + z2 dz. 6. Znaleźć rozwiązanie równania dy dx − 2 x y = x6 + x3, y(1) = 1 5 . 7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem: f (x, y) = x4 + y4 − 4 (x − y) 2. 8. Funkcja z = z (x, y) jest funkcją klasy C2 określoną w obszarze D = {(x, y) : x 0, y 0}. Prze- kształcić równanie x · ∂2z ∂x2 + y · ∂2z ∂x∂y = 0 przyjmując nowe zmienne u = y, v = y x . 9. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej x = f (y) określonej równaniem: x4 − 8xy − 4x + 8y 2 = 0. 10. Wykorzystując metodę Lagrange’a, wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji f (x, y, z) = x4 + y4 + z4 (x 0, y 0, z 0), pod warunkiem, że x + y + z − 1 = 0. 11. Zbadać ciągłość funkcji f (x, y) = x2y2 x2y2 +(x−y) 4 , (x, y) = (0, 0) 1 , (x, y) = (0, 0) Czy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (0, 0) ? 12. Dla jakich wartości x szereg ∞ n =1 1 n 3n (x − 2)
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)