To tylko jedna z 11 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Funkcje wielu zmiennych. Różniczkowanie Pochodne funkcji wielu zmiennych. Przypadek funkcji o wartościach wektorowych. Różniczkowanie Gdy istnieje granica to f - różniczkowalna. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych Definicja: Jeżeli istnieje takie odwzorowanie liniowe takie, że przyrost zupełny ma postać , gdzie to mówimy, ze funkcja f jest różniczkowalna w punkcie . Oznaczamy . Twierdzenie (o jednoznaczności pochodnej): Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe takie, że . dowód: B - odwzorowanie liniowe, bierzemy dowolny niech wtedy A, B - odwzorowania liniowe + własność jednorodności normy wysuwamy wniosek: Wykorzystując macierze dla odwzorowania w bazie kanoniczne otrzymujemy, że pochodna ma postać macierzy : . Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w to jest ona ciągła w tym punkcie. dowód: Skoro To dla zachodzi własność: Twierdzenie o pochodnej funkcji (podstawowe własności pochodnej). Twierdzenie 1.: Jeżeli funkcje f, g określone w pewnym otoczeniu punktu takie, że i różniczkowalne w to ich suma i iloczyn przez skalar też są różniczkowalne, przy czym: .
dowód: Twierdzenie 2. (o pochodnej funkcji złożonej - reguła łańcucha): Jeżeli f jest różniczkowalna w i g jest różniczkowalna w to jest różniczkowalna w , gdzie . dowód: Twierdzenie 3.: - odwzorowanie liniowe pochodna w każdym punkcie . dowód: Pochodna z definicji jest funkcją liniową. Twierdzenie 4: Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w wtedy każda składowa jest różniczkowalna w , przy czym pochodna jako macierz ma postać . dowód: Twierdzenie to pokazuje, że różniczkowanie funkcji o wartościach wektorowych redukuje się do różniczkowania funkcji rzeczywistych. WNIOSEK: Pochodna funkcji wektorowej jednej zmiennej Twierdzenie 5.: WW różniczkowalności Istnieją wszystkie funkcje cząstkowe , które są ciągłe w to funkcja f będzie różniczkowalna. !!! Pochodne cząstkowe istnieją w , gdy należą do otoczenia i f jest ciągła. Należy wykazać, że . Pochodne cząstkowe i różniczki funkcji wielu zmiennych. Różniczka zupełna. Jeżeli istnieje , , to ta granica właściwa nazywa się pochodną względem zmiany .Oznaczamy . Z zależności liniowej wnioskujemy, że jest to pochodna cząstkowa funkcji f w punkcie względem x. WK różniczkowalności funkcji : Jeżeli funkcja f różniczkowalna w to istnieje w punkcie . Różniczka zupełna stąd Interpretacja geometryczna różniczki zupełnej w przypadku funkcji dwóch zmiennych. Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji. Aby powierzchnia miała w punkcie ,
(…)
… . Wtedy funkcja f jest funkcją uwikłaną. Twierdzenie o istnieniu funkcji uwikłanej: Niech: 1) Funkcja F określona i ciągła w pewnym otoczeniu punktu 2) w punkcie zachodzi 3) przy stałym funkcja monotonicznie rośnie lub maleje względem x/y jako funkcja jednej zmiennej. Wówczas w pewnym otoczeniu punktu zawierającym się w otoczeniu U równanie określa y jako jednoznaczną funkcję zmiennej taką, że oraz f jest ciągła…
… analogicznie WK istnienia ekstremum. Znikanie pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum. Warunek ten jest równoważny: . WW istnienia ekstremum.
Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w , gdzie - punkt stacjonarny to w funkcja f ma max dla oraz min dla .
Jeżeli druga różniczka czyli forma kwadratowa jest określona dodatnio/ujemnie to w danym punkcie jest min…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)