4. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 4.1 POCHODNE CZĄSTKOWE FUNKCJI Def. 4.1.1 (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu)
Niech funkcja f będzie określona na obszarze D R 2 oraz niech ( x 0 , y 0 ) D . Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie ( x 0 , y 0 ) określamy wzorem:
.
Pochodną tą oznaczamy także symbolami: , . Podobnie jest określona pochodna cząstkowa pierwszego rzędu funkcji f względem y w punkcie ( x 0 , y 0 ):
.
Pochodną tą oznaczamy także symbolami: , .
Uwaga . Analogicznie określa się pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla funkcji trzech zmiennych. Jeżeli granice określające pochodne cząstkowe są właściwe (niewłaściwe) ,to mówimy, że odpowiednie pochodne cząstkowe są właściwe (niewłaściwe).
Def. 4.1.2 (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze)
Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie obszaru D R 2 , to funkcje , , gdzie , nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji f na obszarze D i oznaczamy odpowiednio przez , lub f x , f y albo też D 1 f , D 2 f . Analogicznie określa się pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze V R 3 dla funkcji trzech zmiennych.
Fakt 4.1.3 (interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych)
Niech funkcja z = f ( x,y ) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie ( x 0 , y 0 ). Ponadto niech oznacza kąt nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f płaszczyzną y = y 0 w punkcie ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )), do płaszczyzny xOy oraz niech oznacza kąt nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f płaszczyzną x = x 0 . Wtedy
, .
Rys 4.1.1 Interpretacja geometryczna po-chodnej cząstkowej Rys 4.1.2 Interpretacja geometryczna po-chodnej cząstkowej Pochodna cząstkowa jest miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcji f względem zmiennej x przy ustalonej wartości zmiennej y . Podobnie jest dla pochodnej cząstkowej oraz dla pochodnych cząstkowych funkcji trzech zmiennych.
Uwaga . Odmiennie niż dla funkcji jednej zmiennej wygląda związek między ciągłością funkcji dwóch zmiennych a istnieniem pochodnych cząstkowych. Funkcja może mieć w punkcie obie pochodne cząstkowe, ale nie musi być w tym punkcie ciągła.
Def. 4.1.4 (pochodne cząstkowe drugiego rzędu)
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe , na obszarze D R 2 oraz niech ( x 0 , y 0 ) D . Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (
(…)
… jeszcze istnienia ekstremum lokalnego. Np. funkcja f(x,y) = x3 spełnia równości , , ale nie ma ekstremum w punkcie (0,0).
Tw. 4.5.5 (warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x0,y0). Ponadto niech
1. funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x0,y0),
2. ,
3. .
Wtedy funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie (x0,y0…
… jest warunkiem koniecznym, a nierówność jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum funkcji uwikłanej. Prawdziwe jest także analogiczne twierdzenie o ekstremach funkcji uwikłanej postaci x = x(y).
Fakt 4.6.4 (algorytm znajdowania ekstremów lokalnych funkcji uwikłanej)
1. Punkty, w których funkcja uwikłana może mieć ekstrema, znajdujemy korzystając z warunku koniecznego istnienia ekstremum. W tym celu rozwiązujemy układ warunków:
, , .
2. W otrzymanych punktach (x0,y0) sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum, tj. określamy znak wyrażenia
.
Na podstawie znaku tego wyrażenia ustalamy rodzaj ekstremum.
…
…), ale nie jest w tym punkcie różniczkowalna.
Tw. 4.2.3 (warunek wystarczający różniczkowalności funkcji)
Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x0,y0). Niech ponadto
1. pochodne cząstkowe , istnieją na otoczeniu punktu (x0,y0),
2. pochodne cząstkowe , będą ciągłe w punkcie (x0,y0).
Wtedy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x0,y0).
Uwaga. Ostatnie twierdzenie jest prawdziwe także dla funkcji trzech…
… (zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów)
Niech wielkości fizyczne x, y, z będą związane zależnością z = f(x,y). Ponadto niech i oznaczają odpowiednio błędy bezwzględne pomiaru wielkości x i y. Wtedy błąd bezwzględny obliczeń wielkości z wyraża się wzorem przybliżonym:
.
Prawdziwe są także analogiczne wzory dla większej liczby wielkości fizycznych.
4.3 RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI ZŁOŻONYCH
Tw…
… przez ten punkt (rys. 4.4.3).
Rys 4.4.2
Rys 4.4.3
4.5 WZÓR TAYLORA. EKSTREMA FUNKCJI
Def. 4.5.1 (różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych)
Niech funkcja f ma na otoczeniu punktu (x0,y0) ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n N włącznie. Różniczką n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x0,y0) nazywamy funkcję dnf(x0,y0) zmiennych x i y określoną wzorem:
.
We wzorze tym symbole , oznaczają operacje…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)