FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH POCHODNE CZĄSTKOWE Niech , , gdzie , będzie funkcją dwóch zmiennych ( x , y ). ( ) z y x f = , R A f → : 2 R A ⊂ ( ) x f y x fx ∂ ∂ = , ' pochodne cząstkowe rzędu 1-go ( ) y f y x f y ∂ ∂ = , ' ( ) ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = x f x x f y x fxx 2 2 ' , czyste pochodne cząstkowe rzędu 2-go ( ) ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = y f y y f y x f yy 2 2 ' , ( ) ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = y f x y x f y x fxy 2 ' , mieszane pochodne cząstkowe rzędu 2-go ( ) ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = x f y x y f y x f yx 2 ' , Twierdzenie Schwarza : Jeżeli pochodne mieszane funkcji f w punkcie ( x 0, y 0) są ciągłe i istnieją w pewnym otoczeniu tego punktu, to pochodne te w punkcie ( x 0, y 0) są sobie równe x y f y x f ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 2 . Przykład: y x xy x y x f 12 15 3 ) , ( 2 3 − − + = ( ) 15 3 3 , 2 2 ' − + = y x y x f x , ( ) 12 6 , ' − = xy y x f y ( ) x y x f xx 6 , ' = , , , ( ) x y x f yy 6 , ' = ( ) y y x f xy 6 , ' = ( ) y y x f yx 6 , ' = Arkadiusz Lisak 1 EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Niech funkcja f ( x , y ) będzie określona w pewnym obszarze D ⊂ R 2. Mówimy, że funkcja f ( x , y ) ma w punkcie ( x 0 ,y 0)∈ D maksimum lokalne (minimum lokalne) , jeżeli istnieje takie otoczenie S punktu ( x 0 ,y 0), że dla każdego punktu ( x , y ) należącego do otoczenia S spełniona jest nierówność ( ) ( 0 0 , , y x f y x f ≤ ) ( ) ( 0 0 , , y x f y x f ≥ ( ) ) WARUNEK KONIECZNY : Jeżeli funkcja dwóch zmiennych f ( x , y ) ma w punkcie ( x 0, y 0) ekstremum i ma w tym punkcie pochodne cząstkowe pierwszego rządu, to ( ) 0 , 0 0 ' = y x f x i ( ) 0 , 0 0 ' = y x f y Punkty ( x 0, y 0), które spełniają powyższe warunki nazywamy punktami stacjonarnymi . WARUNEK WYSTARCZAJĄCY: Jeżeli funkcja dwóch zmiennych f ( x , y ) ma w pewnym otoczeniu punktu ( x 0, y 0) ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu, i (( x ( ) 0 , 0 0 ' = y x
(…)
… ∂x ∂y
mieszane pochodne cząstkowe rzędu 2-go
∂2 f ∂ ∂f
f yx ( x, y ) =
''
=
∂y∂x ∂y ∂x
Twierdzenie Schwarza: Jeżeli pochodne mieszane funkcji f w punkcie (x0,y0) są ciągłe
i istnieją w pewnym otoczeniu tego punktu, to pochodne te w punkcie (x0,y0) są sobie
równe
∂2 f ∂2 f
= .
∂x∂y ∂y∂x
Przykład: f ( x, y ) = x 3 + 3 xy 2 − 15 x − 12 y
f x' (x, y ) = 3x 2 + 3 y 2 − 15 , f y' ( x…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)