Funkcje dwóch zmiennych - Twierdzenie Schwarza

Nasza ocena:

3
Pobrań: 224
Wyświetleń: 1736
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Funkcje dwóch zmiennych - Twierdzenie Schwarza - strona 1 Funkcje dwóch zmiennych - Twierdzenie Schwarza - strona 2 Funkcje dwóch zmiennych - Twierdzenie Schwarza - strona 3

Fragment notatki:

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH      POCHODNE CZĄSTKOWE      Niech  ,  , gdzie  , będzie funkcją dwóch zmiennych ( x , y ).  ( )  z y x f = , R A f → : 2 R A ⊂   ( ) x f y x fx ∂ ∂ = , '   pochodne cząstkowe rzędu 1-go  ( ) y f y x f y ∂ ∂ = , '   ( )       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = x f x x f y x fxx 2 2 ' ,   czyste pochodne cząstkowe rzędu 2-go  ( )       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = y f y y f y x f yy 2 2 ' ,   ( )       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = y f x y x f y x fxy 2 ' ,   mieszane pochodne cząstkowe rzędu 2-go  ( )       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = x f y x y f y x f yx 2 ' ,       Twierdzenie Schwarza : Jeżeli pochodne mieszane funkcji  f  w punkcie ( x 0, y 0) są ciągłe  i istnieją w pewnym otoczeniu tego punktu, to pochodne te w punkcie ( x 0, y 0) są sobie  równe  x y f y x f ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 2 .      Przykład:    y x xy x y x f 12 15 3 ) , ( 2 3 − − + =   ( ) 15 3 3 , 2 2 ' − + = y x y x f x ,    ( ) 12 6 , ' − =  xy y x f y ( )  x y x f xx 6 , ' = ,  ,  ,  ( )  x y x f yy 6 , ' = ( )  y y x f xy 6 , ' = ( )  y y x f yx 6 , ' = Arkadiusz Lisak  1   EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH    Niech funkcja  f ( x , y ) będzie określona w pewnym obszarze  D ⊂ R 2. Mówimy,  że funkcja   f ( x , y ) ma w punkcie ( x 0 ,y 0)∈ D    maksimum lokalne (minimum lokalne) ,   jeżeli istnieje takie otoczenie  S  punktu ( x 0 ,y 0), że dla każdego punktu ( x , y ) należącego  do otoczenia S spełniona jest nierówność  ( ) ( 0 0 , , y x f y x f ≤ ) ( ) ( 0 0 , , y x f y x f ≥   ( )  )   WARUNEK KONIECZNY : Jeżeli funkcja dwóch zmiennych  f ( x , y ) ma w punkcie  ( x 0, y 0) ekstremum i ma w tym punkcie pochodne cząstkowe pierwszego rządu, to  ( ) 0 , 0 0 ' = y x f x  i    ( ) 0 , 0 0 ' = y x f y   Punkty ( x 0, y 0), które spełniają powyższe warunki nazywamy  punktami  stacjonarnymi .      WARUNEK WYSTARCZAJĄCY:  Jeżeli funkcja dwóch zmiennych  f ( x , y ) ma  w pewnym otoczeniu punktu ( x 0, y 0)    ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu,   i   (( x ( ) 0 , 0 0 ' = y x

(…)

… ∂x  ∂y 
 
mieszane pochodne cząstkowe rzędu 2-go
∂2 f ∂  ∂f 
f yx ( x, y ) =
''
=  
∂y∂x ∂y  ∂x 
Twierdzenie Schwarza: Jeżeli pochodne mieszane funkcji f w punkcie (x0,y0) są ciągłe
i istnieją w pewnym otoczeniu tego punktu, to pochodne te w punkcie (x0,y0) są sobie
równe
∂2 f ∂2 f
= .
∂x∂y ∂y∂x
Przykład: f ( x, y ) = x 3 + 3 xy 2 − 15 x − 12 y
f x' (x, y ) = 3x 2 + 3 y 2 − 15 , f y' ( x…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz