Chemia - Zestaw nr 5. Całki nieoznaczone
Całkowanie przez części. Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają na pewnym przedziale ciągłe pochodne, to
(na tym przedziale).
Całkow. przez podstawienie. Jeśli funkcja x = f(t) ma ciągłą pochodną f'(t) na przedziale T, to dla funkcji g(x) określ. na przedziale f (T) zachodzi (ma zastosowanie w obie strony).
Podstawowe wzory całkowania:
(α_-1)
Całkowanie niektórych wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne:
Całki z funkcji postaci sinnx cosmx. Jeżeli któraś z liczb n lub m jest nieparzysta, to stosujemy podstawienie t = sinx (gdy m jest nieparzyste) względnie t = cos x (gdy n jest nieparzyste). Jeżeli natomiast oba wykładniki są parzyste, to możemy obniżyć potęgi sin x i cos x za pomocą wzorów trygonometrycznych: sin2x = 1/2 - (1/2) cos2x, cos2x = 1/2 + (1/2) cos 2x, sin x cos x = (1/2) sin2x itp.
Całki z funkcji tgnx i ctgmx liczymy za pomocą podstawienia odpowiednio t = tg x lub t = ctg x (lub odpowiednich wzorów rekurencyjnych).
Ogólnie, całki z funkcji postaci R(sinx, cosx) (R(x, y) - funkcja wymierna zmiennych x i y) możemy obliczyć, stosując podstawienie . Wtedy . Podstawienie to sprowadza funkcję podcałkową do funkcji wymiernej zmiennej t.
Zadania
1) Całki liczone przez podstawienie (proste, narzucające się, z wyjątkiem e),f),g),k))
a) b) c) d) h) i) j) l) e) f) g) k) 2) Całki liczone przez części (lub przez części i przez podstawienie):
a) , b) c) d) e) (dwiema metod.) f) g) (nieco nietypowe); h) i0) i) j) k) l) m) , (2 razy przez części, wyliczyć szukaną całkę z równania). n) .
3) Proste całki z funkcji trygonometrycznych: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) h) ; i) ; j) .
Całkowanie funkcji wymiernych. Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu (być może równego zeru) i funkcji , gdzie ϕ(x) i ψ(x) - wielomiany, takie że stopień ϕ(x) jest mniejszy od stopnia ψ(x). Załóżmy że wielomian ψ(x) ma pierwiastki x1, ..., xn. Wielomian rozkłada się więc na iloczyn czynników postaci , gdzie ki jest krotnością pierwiastka xi , dla i = 1, ..., n oraz pewnej ilości nierozkładalnych czynników postaci (ax2 + bx + c)k , gdzie Δ=b2-4ac
(…)
… , dla i = 1, ..., n oraz pewnej ilości nierozkładalnych czynników postaci (ax2 + bx + c)k , gdzie Δ=b2-4ac<0. Funkcja rozkłada się wtedy na sumę tzw. ułamków prostych. Każdemu jednokrotnemu pierwiastkowi xi odpowiada ułamek postaci , każdemu k- krotnemu pierwiastkowi xiodpowiada k ułamków: , , ..., (tzw. ułamki proste pierwszego rodzaju). Pojedynczemu nierozkładalnemu czynnikowi R=ax2 + bx + c odpowiada tzw. ułamek drugiego rodzaju , a czynnikowi postaci Rk =(ax2 + bx + c)k odpowiada k ułamków (II rodzaju) postaci , , ..., , gdzie A, B1, ..., Bk, M, N, M1, ..., Mk, N1, ...¸Nk są liczbami rzeczywistymi. Do scałkowania mamy więc wyrażenia:
Ia) ; Ib) ,k≥2; IIb) , w szczególności IIa) .
W całkach IIb) i IIa) przede wszystkim wydzielamy część, w której licznik jest (z dokładnością do stałej) pochodną trójmianu…
…) jest wielomianem stopnia mniejszego niż stopień wielomianu P(x), zaś λ jest pewną liczbą. Q(x) i λ znajdujemy metodą współczynników nieoznaczonych.
1) Całki funkcji niewymiernych: a) ; b) ; ; ; ; ; c) ; d) ; e) ; f) 2) Różne: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) k) ; l) ; m) ; n) ; o) p) ; r) ; s) ; t) ; u) ; w) ; x) ; y) ; z) za) ; zb) zc) ; zd) .
Trudniejsze całki
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)