Wyznaczniki. Rząd macierzy - wykład

Nasza ocena:

5
Pobrań: 63
Wyświetleń: 945
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wyznaczniki. Rząd macierzy - wykład - strona 1 Wyznaczniki. Rząd macierzy - wykład - strona 2

Fragment notatki:

Chemia - Zestaw nr 8. Wyznaczniki. Rząd macierzy. Tw. Kroneckera - Capellego.
Załóżmy, że A jest macierzą kwadratową stopnia n , n 1. Niech 1≤i,j≤n. Wtedy symbolem Ai,j oznaczamy macierz stopnia n-1, powstałą z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
Rozwinięcie Laplace'a wyznacznika macierzy A względem i-tego wiersza ( j-tej kolumny):
Jeśli A = to ().
Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeśli do danego wiersza (danej kolumny) dodamy inny wiersz (inną kolumnę) tej macierzy, pomnożony/ą przez dowolny skalar; pomnoży się przez liczbę, gdy pomnożymy do­wolny wiersz (lub kolumnę) przez tę liczbę; zmieni znak na przeciwny, jeżeli zamienimy miejscami dwa wiersze (dwie kolumny) tej macierzy. Dokonując operacji tego typu można, wychodząc z dowolnej macierzy kwadratowej - dojść do macierzy, która pod główną przekątną (lub nad główną przekątną) ma same zera, a wyznacznik macierzy tej postaci jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej.
Minorem macierzy A = [ aij ] 1 ≤i≤ m, 1≤ j≤ n nazywamy każdy wyznacznik macierzy po­wsta­łej z macierzy A przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn (tak, aby powstała w ten sposób macierz była kwa­dratowa).
Rzędem macierzy A (ozn. rz(A)) nazywamy taką liczbę r, że wszystkie minory macierzy A stopnia więk­szego niż r (jeżeli istnieją) są równe zeru i istnieje co najmniej jeden minor stopnia r różny od zera. Rząd macierzy nie zmieni się w wyniku: 1. dodania do jednego wiersza (kolumny) innego wiersza (in­nej kolumny) pomnożonego (onej) przez dowolną liczbę; 2. pomnożenia dowolnego wiersz (dowolnej ko­lum­ny) przez liczbę różną od zera; 3. przestawienia wierszy (kolumn) macierzy miejscami.
Twierdzenie Kroneckera - Capellego. Dany jest układ (U), czyli AX=B. Przez A oznaczamy macierz układu, a przez [A,B] macierz rozszerzoną. Niech rz A = r. Wtedy:
albo rz [A,B]=rz A (= r), i wtedy rozwiązanie układu (U) istnieje i zależy od n-r dowolnych pa­ra­metrów (w szczególności, jeżeli r = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie), albo też rz [A,B]≠rz A (wtedy w istocie rz [A,B]=rz A+1=r+1), i wtedy układ (U) jest sprzeczny. Inaczej mówiąc, układ (U) posiada (przynajmniej jedno) rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rz A = rz [A,B].
1. Obliczyć wyznaczniki:
a) b) c) d) e)
2) Obl. rząd: a) b) c) d)
e) f) 3) Obl. rząd w zależn. od param. a: a) b) c) d) 4) Korz. z tw. Kroneck. - Capell. zbadać war. rozwiązalności: a) b) ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz