To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 3. I. Własności wyznaczników.
Jeśli jeden wiersz (kolumna) macierzy A składa się z samych 0 to wyznacznik detA=0;
Jeśli dwa wiersze albo dwie kolumny są identyczne to wyznacznik detA=0;
Jeżeli dwa wiersze (kolumny) macierzy A są proporcjonalne (pomnożone przez coś) to detA=0;
Jeżeli jeden wiersz (kolumna) macierzy A jest sumą dwóch innych wierszy (kolumn) to detA=0;
Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez zamianę dwóch wierszy (kolumn), to detB=-det A;
Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów jednego wiersza (kolumny) przez liczbę C to detB=C*detA;
Wyznacznik macierzy nie ulega zmianie, jeśli do jednego wiersza (kolumn) dodajemy wiersz (kolumnę) pomnożoną przez daną liczbę.
Uwaga!!! Stosując własności 5,8 możemy doprowadzić macierz do postaci diagonalnej.
II. Wyliczanie wyznaczników
1) metoda Laplasa Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy liczbę: Gdzie Mij jest macierzą otrzymaną z A przy skreśleniu i-wiersza i j-kolumny.
2) Twierdzenie Laplasa.
a) Rozwinięcie wyznacznika względem i-wiersza
jeśli b) jeśli 3) Macierz odwrotna
Mówimy, że macież C jest odwrotną do A jeśli A*C=C*A=J Twierdzenie: Jeżeli to istnieje (dokł.1 ) macierz odwrotna do A. Ma ona postać:
, gdzie Dowód: Pokażmy, że Element stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie iloczynu ma postać: 4) Układy równań liniowych
Układ równań z n niewiadomymi - macierz współczynników układu równań
- kolumna wyrazów wolnych
- kolumna niewiadomych
układ można zapisać w postaci macierzowej: Ax=b.
5) Twierdzenie Kramera
Jeśli , to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie jest dane wzorami : gdzie Ak jest macierzą otrzymaną z A przez zastąpienie k-tej kolumny kolumna wyrazów wolnych Idea dowodu - Ponieważ więc istnieje macierz odwrotna A-1 ponieważ A-1*A=J
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)