To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wyznacznik macierzy
Uwaga
Wyznacznik definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych:
a11 ,
a ,
A= 21
a n1 ,
a11 ,
, a1n
a 22 , , a 2n
- macierz A
a n2 , , a nn
a12 , , a1n
a12 ,
a 21 , a 22 ,
, a 2n
a n1 , a n2 ,
det A =
, a nn
- wyznacznik macierzy A
Wyznacznik macierzy A to wyznacznik n wektorów, które stanowią
kolumny tej macierzy.
Czyli:
detA= ∑ ε(δ)a1σ(1) ⋅ ... ⋅ a nσ(n)
σ∈Sn
Własności wyznacznika macierzy:
1) Wyznacznik macierzy to liczba przyporządkowana macierzy (różne
macierze mogą mieć ten sam wyznacznik).
1
A=
2
1
B = 0
0
−1
3
detA=
1 −1
=5
2 3
0 0
1 0 0
5 0
detB= 0 5 0 = 5
0 1
0 0 1
2) Wyznacznik macierzy AT jest równy wyznacznikowi macierzy A.
detAT=detA
3) Możemy dodać wyznaczniki tego samego stopnia z dwóch macierzy
nie licząc ich. Można to zrobić ⇔ macierze różnią się dokładnie
jednym wierszem (dokładnie jedną kolumną).
Wówczas:
a11
a1i +b1i
a1n
a11
a1i
a1n a11
b1i
a1n
a 21
a 2i +b 2i
a 2n a 21
a 2i
a 2n a 21
b 2i
a 2n
=
+
a n1
a ni +b ni
a nn
a n1
a ni
a nn
a n1
b ni
a nn
det (x1 ,x 2 ,...,x i +x i ',...,x n ) = det (x1 ,x 2 ,...,x i ,...,x n )+ det (x1 ,x 2 ,...,x i ',...,x n )
4) Aby pomnożyć wyznacznik przez liczbę (nie licząc go) mnożymy
1 wiersz (albo 1 kolumnę) wyznacznika przez tą liczbę.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
a11
a1n
a 21
a 2i
a 2n
a n1
α
a1i
a ni
αa11
a nn
=
αa1i
αa1n
a 21
a 2i
a 2n
a n1
a ni
a nn
5) Jeżeli kolumny (albo wiersze) (jako wektory) są liniowo zależne to
wyznacznik jest równy 0.
6) Zamiana kolejności kolumn albo wierszy powoduje odpowiednią
zmianę znaku wyznacznika.
7) Wartość wyznacznika nie zmieni się jeżeli do wiersza (albo kolumny)
dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (albo kolumn).
8) Można uzasadnić, że dla macierzy An×n i Bn×n zachodzi:
det(A ⋅ B)=detA ⋅ detB
9) Z: An×n – nieosobliwa
1
T: detA ≠ 0 ∧ detA-1= det A
Def 1.
a11
a1i
a1n
a 21
a 2i
a 2n
a n1
a ni
a nn
det A=
- wyznacznik macierzy A
Podwyznacznikiem macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej
z macierzy A przez skreślenie w tej macierzy pewnej liczby wierszy i tej
samej ilości kolumn.
Def 2.
Minorem Mij macierzy A przynależnym elementowi aij nazywamy
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i – tego
wiersza oraz j-tej kolumny.
Def 3.
Dopełnieniem algebraicznym elementu aij nazywamy minor Mij
pomnożony przez (-1)i+j, czyli Aij=(-1)i+jMij.
Twierdzenie 1 (Laplace’a)
Z: An×n=[aij] – macierz
T: Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów
dowolnie wybranego wiersza (albo kolumny) przez ich dopełnienia
algebraiczne.
detA = a1j⋅A1j+a2j⋅A2j+...+anj⋅Anj
(jest to rozwinięcie względem j-tejkolumny)
detA = ai1⋅Ai1+ai2⋅Ai2+…+ain⋅Ain
(jest to rozwinięcie względem i-tego wiersza)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
Przykład 1
1 1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 1 1 0
1+ 3
2+3
= 0 ⋅ (−1) ⋅ 0 0 1 + 1⋅ (−1) ⋅ 0 0 1 +
0 0 1 1
1 0 1
1 0
(…)
…
a nn
a n1
a ii
a n2
= a11 ⋅ a 22 ⋅ ... ⋅ a nn
W szczególności dla macierzy diagonalnej:
a11 0 0 0
0
0
a 22
0
0
0
0
a ii
0
0
a nn
0
0
0
0
0
= a11 ⋅ a 22 ⋅ ... ⋅ a nn
Przykład 3
Rozwiązać równanie:
x 1 1 1
1 x 1 1
=0
1 1 x 1
1 1 1 x
Liczymy wyznacznik:
x 1 1 1 x-1 0
0 1
1 0 0
1
1 x 1 1
0 x-1 0 1
0 1 0
1
=
= (x-1)3
= (x-1)3 ⋅ (x+3)
1 1 x 1
0
0 x-1 1
0 0 1
1
1 1 1 x 1-x 1-x 1-x x
−1 −1 −1 x+3
Podstawiając…
…
0
1
A 23 = (−1) 2+3
0
A11 = (−1)1+1
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
A 21 = (−1) 2+1
−1
= −1
1
−1
=1
1
0
= −1
1
1 −1 1
(A ) = 1 1 1
−1 −1 1
D T
strona 4 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
1
2
1
-1
D T
1
A = 2 (A ) = 2
− 1
2
−1
2
1
2
−1
2
1
2
1
2
1
2
Uwaga
Lepiej jest stosować metodę macierzy odwrotnej jako macierzy
odwzorowania odwrotnego.
Czyli:
1 0 -1 x1…
…
Twierdzenie 5
Z: An×m – macierz
T: Rząd macierzy A jest równy największemu ze stopni minorów
niezerowych.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
Poniższy przykład pokazuje, że na ogół nie warto stosować tego
twierdzenia.
Przykład 5
Policzyć rząd macierzy.
2 6 -1 4 3
1 4 2 -1 0
A=
0 -2 -5 6 3
3 10 1 3 3
2 6 -1 4 3
1 4 2 -1 0
1 4 2 -1 0
1 4 2…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)