Wyznaczniki 1-2

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 700
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wyznaczniki 1-2 - strona 1 Wyznaczniki 1-2 - strona 2 Wyznaczniki 1-2 - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd. Twierdzenie 1  Niech A będzie macierzą kwadratową i niech Ai, Aj będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k ∈ K: det[ A 1 , . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An ] = det[ A 1 , . . . , Ai  +  kAj, . . . , Aj, . . . , An ] Dowód  Udowodniliśmy, że: det[ A 1 , . . . , Ai  +  kAj, . . . , Aj, . . . , An ] = det[ A 1 , . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An ] + det[ A 1 , . . . , kAj, . . . , Aj, . . . , An ] Ponadto det[ A 1 , . . . , kAj, . . . , Aj, . . . , An ] = 0. Twierdzenie 2  Jeśli macierz A  = [ aij ] n×n jest macierzą trójkątną to: det  A  =  a 11  · a 22  · · · ann Dowód  Jeśli  σ  =  i  to w wyrażeniu  a 1 σ (1) a 2 σ (2)  · · · anσ ( n ) występuje przynaj- mniej jedno zero. Zatem det( A ) =  a 11  · · · ann . Zadanie  Obliczyć wyznacznik macierzy:      1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1  − 1 1 0  − 2  − 6      Rozwiązanie  W Twierdzeniu 1 udowodniliśmy, że wyznacznik macierzy nie zmienia się gdy do pewnego wiersza macierzy dodamy inny pomnożony przez stałą. Możemy więc do drugiego wiersza dodać pierwszy pomnożony przez − 2: 1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1  − 1 1 0  − 2  − 6 r 2 − 2 r 1 = 1 2 3 4 0  − 1  − 5  − 6 1 1 1  − 1 1 0  − 2  − 6 r 3 −r 1 = 1 2 3 4 0  − 1  − 5  − 6 0  − 1  − 2  − 5 1 0  − 2  − 6 r 4 −r 1 = 1 2 3 4 0  − 1  − 5 − 6 0  − 1  − 2 − 5 0  − 2  − 5  − 10 r 3  − r 2 r 4  −  2 r 2 = 1 2 3 4 0  − 1  − 5  − 6 0 0 3 1 0 0 5 2 r 4 − 2 r 3 = 1 2 3 4 0  − 1  − 5  − 6 0 0 3 1 0 0  − 1 0 r 4 r 3 = 1 2 3 4 0  − 1  − 5  − 6 0 0  − 1 0 0 0 3 1 r 4+3 r 3 = 1 2 3 4 0  − 1  − 5  − 6 0 0  − 1 0 0 0 0 1 = 1 1 Twierdzenie 3  Jeśli macierz kwadratowa A stopnia n ma postać: A  = B C 0 D gdzie B i D są macierzami kwadratowymi stopni k i n − k, a  0  jest macierzą zerową wymiaru  ( n − k )  × k, to: det  A  = (det  B )  ·  (det  D ) Zadanie  Na podstawie powyższego twierdzenia wyznacznik: 1 2 3 4 5 2 1 1 0 1 3 2 1 2 1 0 0 0 4 1 0 0 0 2 2 jest równy: 1 2 3 2 1 1 3 2 1 4 1 2 2 Twierdzenie 4 (Cauchy)  Niech A i B będą macierzami kwadratowymi stop- nia n wtedy: det( A · B ) = det( A ) det( B ) . Zadanie  Udowodnić, że jeśli  A  jest macierzą odwracalną to det  A  = 0 i det( A− 1) = 1 det  A

(…)

… mamy:




D T
A · (A ) = 




det A
0
0
0
0
0
det A
0
0
0
0
0
det A 0
0
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0 det A









co oznacza, że jeśli det A = 0 to macierz A jest odwracalna. Udowodniliśmy,
następujące twierdzenie:
Twierdzenie 6 Macierz kwadratowa A jest odwracalne wtedy i tylko wtedy
gdy det A = 0.
Konstrukcja macierzy odwrotnej
Powtórzmy jeszcze raz konstrukcję macierzy odwrotnej. Jeśli A = [aij ]n×n
jest macierzą kwadratową stopnia n to mamy:
A−1 =
1
(AD )T
det A
gdzie AD = [bij ]n×n , bij = (−1)i+j det Aij , macierz Aij jest macierzą kwadratową stopnia n − 1, która powstała z macierzy A przez wykreślanie i-tego
wiersza i j-tej kolumny.
4
Zadanie Wyznaczyć macierz odwrotną do:





0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0





Przekształcenia elementarne wierszy…
…):





a22 a23
a23 a33
... ...
am2 am3
...
...
...
...
. . . a2n
. . . a3n
... ...
. . . amn





Zadanie Sprowadzić do postaci trapezowej macierz:





oraz macierz:
1
3
2
1








2
2
1
1
3
4
5
1 −2
3
2
1 −1
1
1
1
1
3
2
1
2
2
2
1
1
3






3
4

1 −2 

2
1 

1
1 

4
5
Rzędem macierzy A wymiaru m×n nazywamy ilość niezerowych wierszy
postaci trapezowej macierzy A i oznaczamy…
… odpowiednią
zmianę znaku wyznacznika.
7) Wartość wyznacznika nie zmieni się jeżeli do wiersza (albo kolumny)
dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (albo kolumn).
8) Można uzasadnić, że dla macierzy An×n i Bn×n zachodzi:
det(A ⋅ B)=detA ⋅ detB
9) Z: An×n – nieosobliwa
1
T: detA ≠ 0 ∧ detA-1= det A
Def 1.
a11
a1i
a1n
a 21
a 2i
a 2n
a n1
a ni
a nn
det A=
- wyznacznik macierzy A
Podwyznacznikiem macierzy…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz