Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd. Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech Ai, Aj będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k ∈ K: det[ A 1 , . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An ] = det[ A 1 , . . . , Ai + kAj, . . . , Aj, . . . , An ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[ A 1 , . . . , Ai + kAj, . . . , Aj, . . . , An ] = det[ A 1 , . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An ] + det[ A 1 , . . . , kAj, . . . , Aj, . . . , An ] Ponadto det[ A 1 , . . . , kAj, . . . , Aj, . . . , An ] = 0. Twierdzenie 2 Jeśli macierz A = [ aij ] n×n jest macierzą trójkątną to: det A = a 11 · a 22 · · · ann Dowód Jeśli σ = i to w wyrażeniu a 1 σ (1) a 2 σ (2) · · · anσ ( n ) występuje przynaj- mniej jedno zero. Zatem det( A ) = a 11 · · · ann . Zadanie Obliczyć wyznacznik macierzy: 1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1 − 1 1 0 − 2 − 6 Rozwiązanie W Twierdzeniu 1 udowodniliśmy, że wyznacznik macierzy nie zmienia się gdy do pewnego wiersza macierzy dodamy inny pomnożony przez stałą. Możemy więc do drugiego wiersza dodać pierwszy pomnożony przez − 2: 1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1 − 1 1 0 − 2 − 6 r 2 − 2 r 1 = 1 2 3 4 0 − 1 − 5 − 6 1 1 1 − 1 1 0 − 2 − 6 r 3 −r 1 = 1 2 3 4 0 − 1 − 5 − 6 0 − 1 − 2 − 5 1 0 − 2 − 6 r 4 −r 1 = 1 2 3 4 0 − 1 − 5 − 6 0 − 1 − 2 − 5 0 − 2 − 5 − 10 r 3 − r 2 r 4 − 2 r 2 = 1 2 3 4 0 − 1 − 5 − 6 0 0 3 1 0 0 5 2 r 4 − 2 r 3 = 1 2 3 4 0 − 1 − 5 − 6 0 0 3 1 0 0 − 1 0 r 4 r 3 = 1 2 3 4 0 − 1 − 5 − 6 0 0 − 1 0 0 0 3 1 r 4+3 r 3 = 1 2 3 4 0 − 1 − 5 − 6 0 0 − 1 0 0 0 0 1 = 1 1 Twierdzenie 3 Jeśli macierz kwadratowa A stopnia n ma postać: A = B C 0 D gdzie B i D są macierzami kwadratowymi stopni k i n − k, a 0 jest macierzą zerową wymiaru ( n − k ) × k, to: det A = (det B ) · (det D ) Zadanie Na podstawie powyższego twierdzenia wyznacznik: 1 2 3 4 5 2 1 1 0 1 3 2 1 2 1 0 0 0 4 1 0 0 0 2 2 jest równy: 1 2 3 2 1 1 3 2 1 4 1 2 2 Twierdzenie 4 (Cauchy) Niech A i B będą macierzami kwadratowymi stop- nia n wtedy: det( A · B ) = det( A ) det( B ) . Zadanie Udowodnić, że jeśli A jest macierzą odwracalną to det A = 0 i det( A− 1) = 1 det A
(…)
… mamy:
D T
A · (A ) =
det A
0
0
0
0
0
det A
0
0
0
0
0
det A 0
0
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0 det A
co oznacza, że jeśli det A = 0 to macierz A jest odwracalna. Udowodniliśmy,
następujące twierdzenie:
Twierdzenie 6 Macierz kwadratowa A jest odwracalne wtedy i tylko wtedy
gdy det A = 0.
Konstrukcja macierzy odwrotnej
Powtórzmy jeszcze raz konstrukcję macierzy odwrotnej. Jeśli A = [aij ]n×n
jest macierzą kwadratową stopnia n to mamy:
A−1 =
1
(AD )T
det A
gdzie AD = [bij ]n×n , bij = (−1)i+j det Aij , macierz Aij jest macierzą kwadratową stopnia n − 1, która powstała z macierzy A przez wykreślanie i-tego
wiersza i j-tej kolumny.
4
Zadanie Wyznaczyć macierz odwrotną do:
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
Przekształcenia elementarne wierszy…
…):
a22 a23
a23 a33
... ...
am2 am3
...
...
...
...
. . . a2n
. . . a3n
... ...
. . . amn
Zadanie Sprowadzić do postaci trapezowej macierz:
oraz macierz:
1
3
2
1
2
2
1
1
3
4
5
1 −2
3
2
1 −1
1
1
1
1
3
2
1
2
2
2
1
1
3
3
4
1 −2
2
1
1
1
4
5
Rzędem macierzy A wymiaru m×n nazywamy ilość niezerowych wierszy
postaci trapezowej macierzy A i oznaczamy…
… odpowiednią
zmianę znaku wyznacznika.
7) Wartość wyznacznika nie zmieni się jeżeli do wiersza (albo kolumny)
dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (albo kolumn).
8) Można uzasadnić, że dla macierzy An×n i Bn×n zachodzi:
det(A ⋅ B)=detA ⋅ detB
9) Z: An×n – nieosobliwa
1
T: detA ≠ 0 ∧ detA-1= det A
Def 1.
a11
a1i
a1n
a 21
a 2i
a 2n
a n1
a ni
a nn
det A=
- wyznacznik macierzy A
Podwyznacznikiem macierzy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)