To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
MACIERZE I WYZNACZNIKI Macierzą o wymiarach m*n nazywamy układ m*n liczb, rozmieszczonych w prostokątnej tablicy o m wierszach i n kolumnach; Macierz kwadratowa – macierz, w której liczba wierszy równa się liczbie kolumn (m = n) Macierz jednostkowa – na przekątnych głównych jest jedynka, na pozostałych zaś miejscach są zera. Oznaczamy ją 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = J Tylko macierze kwadratowe. Wyznacznikiem nazywamy funkcję liczbową, określoną na macierzy kwadratowej. Def.: Jeżeli macierz A składa się z jednego elementu 11 a to wyznacznik oznaczamy 11 11 a a A = = Def.: Jeżeli = 22 21 12 11 a a a a A to mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 det = = n n A a A a A a 1 1 12 12 11 11 ⋅ + + ⋅ + ⋅ Gdzie A – dopełnienie algebraiczne elementu ij a tzn.: Dopełnieniem algebraicznym Ai,j elementu ai,j wyznacznika n – tego stopnia nazywamy minor należący do tego elementu, pomnożony przez wyrażenie (-1)i+j: A t, j = D n - 1(-1) i + j ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 22 21 1 1 1 1 12 11 1 1 + − + + + − − − + − + − + + ⋅ − = ⋅ − = ij in i i ij in i i j j j j j i ij j i ij a a a a a a a a a a a a a a a a M a Minorem (podwyznacznikiem) wyznacznika n -tego stopnia, należącym do jego elementu ai,j, nazywamy wyznacznik ( n –1 ) - go stopnia, którego macierz otrzymuje się z wiersza i oraz kolumny j w danym wyznaczniku n- tego stopnia. Kombinacją liniową kilku wierszy lub kilku kolumn wyznacznika n – tego stopnia nazywamy nowy wiersz lub nową kolumnę, których elementy są utworzone przez jednakowe kombinacje liniowe odpowiednich elementów tych kilku wierszy lub kilku kolumn, a więc np. przez ich mnożenie lub dzielenie przez liczby stałe oraz dodawanie i odejmowanie. Wartość wyznacznika n – tego stopnia może być określona a) jako suma iloczynów wszystkich elementów pewnego wiersza i lub elementów pewnej kolumny j przez odpowiadające tym elementom minory (podwyznaczniki), pomnożone przez (-1) i + j. j i n i j j i j i j i j i n n j i A a A a D a , 1 1 1
(…)
…
a22
a32
a12
a22
a23
a33
a13
a23
a11
a12
det A = a21 a22
a31 a32
a13 a11
a12
a23 a21 a22
a33 a31 a32
_
4 3
1
2
6 4
−1 3
Transpozycją macierzy nazywamy zamianę w niej wierszy na kolumny, a kolumn na wiersze. [ A3, 4 ] = 2 5 − 2 2
4
[A ] =
4,3
2
6
3
5
4
1 − 2 −1
2 2
3
- macierz transponowana
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy następujące operacje :
1. pomnożenie wiersza lub kolumny…
….
A + B = aij + bij
3.
4.
k ⋅ A = k ⋅ aij
ij
Macierzą transponowaną macierzy A nazywamy macierz powstałą z niej przez zamianę wierszy na kolumny. Oznaczamy ją A T.
3
Np.: A =
−1
− 2
2
0
5
AT =
3 − 2 0
−1 2 5
Twierdzenia
1. Jeżeli elementy któregoś wiersza (kolumny) są równe 0 to wartość wyznacznika wynosi 0.
2. Jeżeli elementy dwóch wierszy (kolumn) są identyczne to wartość wyznacznika wynosi 0.
3…
… wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza pomnożone przez stałą to wartość
wyznacznika nie ulegnie zmianie.
Obliczanie stopnia wyznacznika
a11
a 21
a n1
a12
a 22
an 2
a13
a 23
an3
a1n
1
a2n
=
n− 2
a11
a nm
a 22
n32
a 23 a 2 n
n33 n3 n
nn 2
n n 3 n nm
a11
a i1
aij
aij
a12
a32
Gdzie: nij =
np.: n32 =
a11
a32
Def. Rząd macierzy:
Rzędem macierzy nazywamy stopień…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)