Macierze i wyznaczniki

Nasza ocena:

3
Pobrań: 49
Wyświetleń: 693
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Macierze i wyznaczniki - strona 1 Macierze i wyznaczniki - strona 2 Macierze i wyznaczniki - strona 3

Fragment notatki:

MACIERZE I WYZNACZNIKI  Macierzą o wymiarach m*n  nazywamy układ m*n liczb, rozmieszczonych w prostokątnej tablicy o m wierszach i n kolumnach;  Macierz kwadratowa –  macierz, w której liczba wierszy równa się liczbie kolumn (m = n) Macierz jednostkowa –  na przekątnych głównych jest jedynka, na pozostałych zaś miejscach są zera. Oznaczamy ją   1 0 0 0 1 0 0 0 1 = J  Tylko macierze kwadratowe. Wyznacznikiem  nazywamy funkcję liczbową, określoną na macierzy kwadratowej.  Def.: Jeżeli macierz A składa się z jednego elementu  11 a   to wyznacznik oznaczamy  11 11 a a A = = Def.: Jeżeli        = 22 21 12 11 a a a a A  to  mn m m n n a a a a a a a a a A        2 1 2 22 21 1 12 11 det = = n n A a A a A a 1 1 12 12 11 11 ⋅ + + ⋅ + ⋅  Gdzie A – dopełnienie algebraiczne elementu   ij a   tzn.: Dopełnieniem algebraicznym    Ai,j   elementu ai,j  wyznacznika n – tego stopnia nazywamy minor należący do tego elementu,  pomnożony przez wyrażenie (-1)i+j:            A t, j = D n - 1(-1) i + j ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 22 21 1 1 1 1 12 11 1 1 + − + + + − − − + − + − + + ⋅ − = ⋅ − = ij in i i ij in i i j j j j j i ij j i ij a a a a a a a a a a a a a a a a M a                     Minorem  (podwyznacznikiem) wyznacznika n -tego stopnia, należącym do jego elementu ai,j, nazywamy wyznacznik ( n –1 ) - go  stopnia, którego macierz otrzymuje się z wiersza i  oraz kolumny j w danym wyznaczniku n- tego stopnia. Kombinacją liniową  kilku wierszy lub kilku kolumn wyznacznika n – tego stopnia nazywamy nowy wiersz lub nową kolumnę,  których   elementy   są   utworzone   przez   jednakowe   kombinacje   liniowe   odpowiednich   elementów   tych   kilku   wierszy  lub   kilku  kolumn, a więc np. przez ich mnożenie lub dzielenie przez liczby stałe oraz dodawanie i odejmowanie.  Wartość wyznacznika n  – tego stopnia może być określona  a) jako suma iloczynów wszystkich elementów pewnego wiersza i lub elementów pewnej kolumny j przez odpowiadające   tym elementom minory (podwyznaczniki), pomnożone przez (-1) i + j. j i n i j j i j i j i j i n n j i A a A a D a , 1 1 1

(…)


a22
a32
a12
a22
a23
a33
a13
a23
a11
a12
det A = a21 a22
a31 a32
a13 a11
a12
a23 a21 a22
a33 a31 a32
_
4 3
1
2
6 4
−1 3
Transpozycją macierzy nazywamy zamianę w niej wierszy na kolumny, a kolumn na wiersze. [ A3, 4 ] = 2 5 − 2 2
4
[A ] =
4,3
2
6
3
5
4
1 − 2 −1
2 2
3
- macierz transponowana
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy następujące operacje :
1. pomnożenie wiersza lub kolumny…
….
A + B = aij + bij
3.
4.
k ⋅ A = k ⋅ aij
ij
Macierzą transponowaną macierzy A nazywamy macierz powstałą z niej przez zamianę wierszy na kolumny. Oznaczamy ją A T.
3
Np.: A =
−1
− 2
2
0
5
AT =
3 − 2 0
−1 2 5
Twierdzenia
1. Jeżeli elementy któregoś wiersza (kolumny) są równe 0 to wartość wyznacznika wynosi 0.
2. Jeżeli elementy dwóch wierszy (kolumn) są identyczne to wartość wyznacznika wynosi 0.
3…
… wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza pomnożone przez stałą to wartość
wyznacznika nie ulegnie zmianie.
Obliczanie stopnia wyznacznika
a11
a 21

a n1
a12
a 22

an 2
a13
a 23

an3
 a1n
1
 a2n
=
n− 2
 
a11
 a nm
a 22
n32
a 23  a 2 n
n33  n3 n

nn 2
  
n n 3  n nm
a11
a i1
aij
aij
a12
a32
Gdzie: nij =
np.: n32 =
a11
a32
Def. Rząd macierzy:
Rzędem macierzy nazywamy stopień…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz