wyznaczniki - wykład 14

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 490
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
wyznaczniki - wykład 14 - strona 1 wyznaczniki - wykład 14 - strona 2 wyznaczniki - wykład 14 - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 14
Wyznacznik macierzy cd.
Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech Ai , Aj będą
dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k ∈ K:
det[A1 , . . . , Ai , . . . , Aj , . . . , An ] = det[A1 , . . . , Ai + kAj , . . . , Aj , . . . , An ]
Dowód Udowodniliśmy, że:
det[A1 , . . . , Ai + kAj , . . . , Aj , . . . , An ] =
det[A1 , . . . , Ai , . . . , Aj , . . . , An ] + det[A1 , . . . , kAj , . . . , Aj , . . . , An ]
Ponadto det[A1 , . . . , kAj , . . . , Aj , . . . , An ] = 0.
Twierdzenie 2 Jeśli macierz A = [aij ]n×n jest macierzą trójkątną to:
det A = a11 · a22 · · · ann
Dowód Jeśli σ = i to w wyrażeniu a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n) występuje przynajmniej jedno zero. Zatem det(A) = a11 · · · ann .
Zadanie Obliczyć wyznacznik macierzy:





1
2
1
1
2
3
4
3
1
2
1
1 −1
0 −2 −6





Rozwiązanie W Twierdzeniu 1 udowodniliśmy, że wyznacznik macierzy nie
zmienia się gdy do pewnego wiersza macierzy dodamy inny pomnożony przez
stałą. Możemy więc do drugiego wiersza dodać pierwszy pomnożony przez
−2:
1
2
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
2
3
4
1
2
3
4
3
1
2 r2 −2r1 0 −1 −5 −6 r3 −r1
=
=
1
1 −1
1
1
1 −1
0 −2 −6
1
0 −2 −6
2
3
4 r3 − r 2
1
2
3
4
−1 −5 −6 r4 − 2r2 0 −1 −5 −6
=
0
0
3
1
−1 −2 −5
−2 −5 −10
0
0
5
2
1
2
3
4
2
3
4
−1 −5 −6 r4 +3r3 0 −1 −5 −6
=1
=
0
0 −1
0
0 −1
0
0
0
0
1
0
3
1
1
1
2
3
4
0 −1 −5 −6 r4 −r1
=
0 −1 −2 −5
1
0 −2 −6
1
2
3
4
0 −1 −5 −6
r4 −2r3
=
0
0
3
1
0
0 −1
0
r4
r
=3
Twierdzenie 3 Jeśli macierz kwadratowa A stopnia n ma postać:
A=
B C
0 D
gdzie B i D są macierzami kwadratowymi stopni k i n − k, a 0 jest macierzą
zerową wymiaru (n − k) × k, to:
det A = (det B) · (det D)
Zadanie Na podstawie powyższego twierdzenia wyznacznik:
1
2
3
0
0
2
1
2
0
0
3
1
1
0
0
4
0
2
4
2
5
1
1
1
2
jest równy:
1 2 3
2 1 1
3 2 1
4 1
2 2
Twierdzenie 4 (Cauchy) Niech A i B będą macierzami kwadratowymi stopnia n wtedy:
det(A · B) = det(A) det(B).
Zadanie Udowodnić, że jeśli A jest macierzą odwracalną to det A = 0 i
1
det(A−1 ) = det A
Rozwiązanie Ponieważ A · A−1 = I to mamy det(A · A−1 ) = det I = 1. Z
twierdzenia Cauchy’ego mamy:
1 = det(A · A−1 ) = det(A) · det(A−1 )
1
zatem det A = 0 i otrzymujemy det(A−1 ) = det A .
Rozwinięcie wyznacznika względem kolumny (wiersza) macierzy
Niech A = [aij ]n×n będzie macierzą kwadratową, wtedy przez Aij oznaczać będziemy macierz wymiaru (n − 1) × (n − 1) powstałą z macierzy A
przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Twierdzenie 5 (Laplace) Niech A będzie macierzą stopnia n wtedy:
det A = a1j (−1)1+j det A1j + a2j (−1)2+j det A2j + · · · + anj (−1)n+j det Anj ,
det A = ai1 (−1)i+1 det Ai1 + ai2 (−1)i+2 det Ai2 + · · · + ain (−1)i+n det Ain .
2
Pierwszy z powyższych wzorów nazywamy rozwinięciem wyznacznika względem j-tej kolumny, a drugi względem i-tego wiersza.
Zadanie Obliczyć wyznacznik:
2 3 4
1 2 5
3 5 4
Rozwiązanie Rozwiniemy ten wyznacznik względem drugiego wiersza:
2 3 4
3 4
2 4
2 3
1 2 5 = 1(−1)2+1
+ 2(−1)2+2
+ 5(−1)2+3
5 4
3 4
3 5
3 5 4
Często wyznaczniki oblicza się

(…)

… mamy:




D T
A · (A ) = 




det A
0
0
0
0
0
det A
0
0
0
0
0
det A 0
0
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0 det A









co oznacza, że jeśli det A = 0 to macierz A jest odwracalna. Udowodniliśmy,
następujące twierdzenie:
Twierdzenie 6 Macierz kwadratowa A jest odwracalne wtedy i tylko wtedy
gdy det A = 0.
Konstrukcja macierzy odwrotnej
Powtórzmy jeszcze raz konstrukcję macierzy odwrotnej. Jeśli A = [aij ]n×n
jest macierzą kwadratową stopnia n to mamy:
A−1 =
1
(AD )T
det A
gdzie AD = [bij ]n×n , bij = (−1)i+j det Aij , macierz Aij jest macierzą kwadratową stopnia n − 1, która powstała z macierzy A przez wykreślanie i-tego
wiersza i j-tej kolumny.
4
Zadanie Wyznaczyć macierz odwrotną do:





0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0





Przekształcenia elementarne wierszy…
…):





a22 a23
a23 a33
... ...
am2 am3
...
...
...
...
. . . a2n
. . . a3n
... ...
. . . amn





Zadanie Sprowadzić do postaci trapezowej macierz:





oraz macierz:
1
3
2
1








2
2
1
1
3
4
5
1 −2
3
2
1 −1
1
1
1
1
3
2
1
2
2
2
1
1
3






3
4

1 −2 

2
1 

1
1 

4
5
Rzędem macierzy A wymiaru m×n nazywamy ilość niezerowych wierszy
postaci trapezowej macierzy A i oznaczamy…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz