8. Rachunek macierzowy 8.1. Dzialania na macierzach Definicja 1. Macierza o m wierszach i n kolumnach (gdzie m, n ∈ R) lub kr´otko macierza m × n nazywamy ka˙zde odwzorowanie A : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} → R. Piszemy w´ owczas A = [aij]1≤i≤m,1≤j≤n lub A = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . am1 am2 . . . amn . Wektor ai1 ai2 . . . ain nazywamy i–tym wierszem macierzy A, a wektor aj1 aj2 ... ajm j–ta kolumna macierzy A. Zbi´ or wszystkich macierzy m × n oznaczamy przez Mmn. 1 Macierz o r´ ownej liczbie wierszy i kolumn (m = n) nazy- wamy macierza kwadratowa, a uklad (a11, a22, . . . , ann) jej gl´ owna przekatna. Definicja 2. Suma macierzy A = [aij] i B = [bij] nale˙zacych do Mmn nazywamy macierz nale˙zaca do Mmn, kt´ orej wyraz o numerze (i, j) jest r´ owny aij + bij. Inaczej m´ owiac A + B = [aij + bij]. Iloczynem macierzy A = [aij] ∈ Mmn przez liczbe a ∈ R nazywamy macierz nale˙zaca do Mmn, kt´orej wyraz o numerze (i, j) jest r´ owny a · aij. Inaczej a · A = [a · aij]. 2 Twierdzenie 3. W zbiorze Mmn dodawanie macie- rzy i mno˙zenie macierzy przez liczbe maja nastepujace wlasno´sci: 1. ∀A,B,C∈Mmn A + (B + C) = (A + B) + C. 2. ∀A,B∈Mmn A + B = B + A. 3. ∀A∈Mmn A+θ = A, gdzie θ oznacza macierz zlo˙zona z samym zer. 4. ∀A∈Mmn A + (−A) = θ, gdzie −A = [−aij]. 5. ∀A∈Mmn ∀a,b∈R (a + b) · A = a · A + b · A. 6. ∀A,B∈Mmn ∀a∈R a · (A + B) = a · A + a · B. 7. ∀A∈Mmn ∀a,b∈R a · (b · A) = (ab) · A. 8. ∀A∈Mmn 1 · A = A. Innymi slowy, Mmn z dzialaniami dodawania macierzy i mno˙zenia macierzy przez liczbe stanowi przestrze´ n li- niowa. Definicja 4. Dla macierzy A = [aij]1≤i≤m,1≤j≤n ∈ Mmn macierza transponowana do macierzy A nazywamy macierz A T = [a ji]1≤j≤n,1≤i≤m ∈ Mnm. Macierz transponowana powstaje przez potraktowanie wier- szy macierzy A jako kolumn macierzy AT . 3 Definicja 5. Macierz kwadratowa A nazywamy symet- ryczna, je˙zeli AT = A (tzn. gdy macierz A jest symet- ryczna wzgledem gl´ ownej przekatnej), a antysymetryczna — gdy AT = −A. Definicja 6. Niech A = [aij] ∈ Mmn oraz B = [bjk] ∈ Mnp (tzn. macierz B ma tyle samo wierszy co macierz A kolumn). Iloczynem macierzowym macierzy A przez macierz B nazywamy macierz A · B = [cik] ∈ Mmp taka, ˙ze cik = n
(…)
… wiersza macierzy przez liczbe r´zna od
z
o˙
zera,
3. dodanie do wiersza kombinacji liniowej pozostalych
wierszy.
Twierdzenie 19. Rzad macierzy jest r´wny maksyo
malnej liczbie liniowo niezale˙ nych wierszy tej macierzy.
z
Inaczej m´wiac rzad macierzy jest r´wny wymiarowi podo
o
przestrzeni liniowej rozpietej na wierszach.
11
8.3 Operacje elementarne
na macierzach
Definicja 20. Operacja elementarna…
… zamieniano miejscami wiersze i dzielono wiersze kolejno przez
liczby a1, . . . ak = 0, to
˜
det A = (−1)l a1 · . . . · ak det A.
Twierdzenie 25. Je˙ eli macierz kwadratowa A ∈
z
Mnn posiada macierz odwrotna A−1, to macierz A mo˙ na
z
sprowadzi´ za pomoca operacji elementarnych do maciec
rzy jednostkowej I.
Je˙ eli O jest takim ciagiem operacji, to stosujac go do
z
.
macierzy [A. ∈ Mn,2n (powstalej…
… A ∈
Mnn nazywamy taka macierz A−1 ∈ Mnn, ze
˙
A · A−1 = A−1 · A = I.
Twierdzenie 12. Macierz A ∈ Mnn posiada macierz
odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy det A = 0.
W´wczas
o
T
i+j
A−1 =
(−1) det Aij
det A
.
1≤i,j≤n
Twierdzenie 13. (wlasno´ci wyznacznika) Dla macies
rzy A, B ∈ Mnn zachodza r´wno´ci:
o
s
1. det AT = det A,
2. det(A · B) = det A · det B,
3. je˙ eli det A = 0, to det A−1 =
z
7
1
det A ,
4…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)