To tylko jedna z 8 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
GP 2011/2012
ĆWICZENIA 6,7 – TEORIA (układy równań, wzory Cramera, metoda eliminacji Gaussa)
I UKŁAD RÓWNAŃ
Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x1, x2, …., xn:
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n x n = b1
a x + a x +⋯+ a x = b
21 1
22 2
2n n
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
a m1 x1 + am 2 x 2 + ⋯ + amn x n = bm
Definicja 2 Postać macierzowa układu równań:
a11 a12 ⋯ a1n x1 b1
a
21 a 22 ⋯ a 2 n x 2 = b2 ,
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a m1 a m 2 ⋯ a mn x n bm
x
A
b
lub krócej Ax = b, gdzie:
a11
a
A = 21
⋯
a m1
a12
a 22
⋯
am2
⋯ a1n
x1
b1
x
⋯ a2n
2 , b = b2 .
, x=
⋯
⋯
⋯ ⋯
⋯ a mn
xn
bm
Macierz A nazywamy macierzą układu równań, wektor b nazywamy wektorem wyrazów wolnych
(kolumną wyrazów wolnych).
Definicja 3 Macierzą rozszerzoną układu równań liniowych
dołączoną kolumną wyrazów wolnych
a11 a12 ⋯ a1n
a
a
⋯ a 2n
[A | b] = 21 22
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a m1 a m 2 ⋯ a mn
nazywać będziemy macierz układu z
b1
b2
⋯
bm
II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ
Do rozwiązywania układu równań z wykorzystaniem macierzy odwrotnej potrzebna nam będzie postać
macierzowa tego układu. Ponadto muszą być spełnione następujące warunki:
1) Macierz A musi być kwadratowa.
2) Macierz A musi być macierzą nieosobliwą, czyli jej wyznacznik musi być róŜny od zera,
detA≠0.
Uwaga Warunek 2) jest równowaŜny warunkowi 3):
3) Rząd macierzy A musi być równy jej wymiarowi, tzn. rzA = n.
1
GP 2011/2012
ĆWICZENIA 6,7 – TEORIA (układy równań, wzory Cramera, metoda eliminacji Gaussa)
Algorytm rozwiązywania układu równań przy pomocy macierzy odwrotnej:
1) Zapisujemy układ równań liniowych w postaci macierzowej Ax = b, gdzie
a11 a12 ⋯ a1n
x1
b1
a
x
21 a 22 ⋯ a 2 n , x = 2 , b = b2 .
A=
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯
⋯
a n1 a n 2 ⋯ a nn
xn
bn
2) Sprawdzamy czy macierz A jest nieosobliwa
3) Wyznaczamy macierz odwrotną A-1.
4) Rozwiązanie układu równań jest postaci x = A-1b.
Przykład:
RozwiąŜ układ równań
x1 − x 2 − 2 x3 = 1
x 2 + 2 x3 = 2
x −x −x =3
2
3
1
Rozwiązanie:
1) Zapisujemy układ równań liniowych w postaci macierzowej Ax = b, gdzie
1 − 1 − 2
x1
1
0 1
, x = x , b = 2 .
A=
2
2
1 − 1 − 1
x3
3
2) Sprawdzamy czy macierz A jest nieosobliwa
1 −1 − 2
det( A) = 0 1
2 = 1.
1 −1 −1
Wyznacznik macierzy detA≠0, zatem macierz A jest nieosobliwa.
3) Wyznaczamy macierz odwrotną A-1
1 1 0
A −1 = 2 1 − 2 .
− 1 0 1
4) Rozwiązanie układu równań jest postaci x = A-1b
1 1 0 1 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 3
−1
x = A b = 2 1 − 2 2 = 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 = − 2 ,
− 1 0 1 3 − 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 2
zatem
x1 3
x = − 2 ,
2
x 3 2
czyli rozwiązaniem układu równań jest trójka x1=3, x2=-2 i x3=2.
III ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY WZORÓW CRAMERA
Podobnie jak w
(…)
… GP 2011/2012
ĆWICZENIA 6,7 – TEORIA (układy równań, wzory Cramera, metoda eliminacji Gaussa)
I UKŁAD RÓWNAŃ
Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x1, x2, …., xn:
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n x n = b1
a x + a x +⋯+ a x = b
21 1
22 2
2n n
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
a m1 x1 + am 2 x 2 + ⋯ + amn x n = bm
Definicja 2 Postać macierzowa układu równań:
a11 a12 ⋯ a1n x1 b1…
… wolnych).
Definicja 3 Macierzą rozszerzoną układu równań liniowych
dołączoną kolumną wyrazów wolnych
a11 a12 ⋯ a1n
a
a
⋯ a 2n
[A | b] = 21 22
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a m1 a m 2 ⋯ a mn
nazywać będziemy macierz układu z
b1
b2
⋯
bm
II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ
Do rozwiązywania układu równań z wykorzystaniem macierzy odwrotnej potrzebna nam będzie postać
macierzowa…
… z elementów zerowych lub m<n.
Jednoznaczne rozwiązanie: W pozostałych przypadkach przekształcenia prowadzą do macierzy postaci
[Inr], gdzie In jest macierzą jednostkową stopnia n a r jest wektorem rozwiązań układu.
Przykład: (jednoznaczne rozwiązanie)
RozwiąŜ układ równań
3x1 + 2 x 2 + x3 = 5
x 2 + 5 x3 = 4
x + 2 x + 3x = 3
2
3
1
1) Zapisujemy macierz rozszerzoną układu równań:
3 2 1 5
0 1…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)