Rozwiązywanie układów równań- ćwiczenia 6,7

Nasza ocena:

5
Pobrań: 217
Wyświetleń: 1092
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Rozwiązywanie układów równań- ćwiczenia 6,7 - strona 1 Rozwiązywanie układów równań- ćwiczenia 6,7 - strona 2 Rozwiązywanie układów równań- ćwiczenia 6,7 - strona 3

Fragment notatki:

GP 2011/2012
ĆWICZENIA 6,7 – TEORIA (układy równań, wzory Cramera, metoda eliminacji Gaussa)
I UKŁAD RÓWNAŃ
Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x1, x2, …., xn:
 a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n x n = b1
 a x + a x +⋯+ a x = b
 21 1
22 2
2n n
2

 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
a m1 x1 + am 2 x 2 + ⋯ + amn x n = bm

Definicja 2 Postać macierzowa układu równań:
 a11 a12 ⋯ a1n   x1   b1 
a
   
 21 a 22 ⋯ a 2 n   x 2  =  b2  ,
 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯  ⋯ ⋯ 

   
a m1 a m 2 ⋯ a mn   x n  bm 
x
A
b
lub krócej Ax = b, gdzie:
 a11
a
A =  21
⋯

a m1
a12
a 22

am2
⋯ a1n 
 x1 
 b1 

x 
 
⋯ a2n 
 2  , b =  b2  .
, x=
⋯
⋯ 
⋯ ⋯

 
 
⋯ a mn 
 xn 
bm 
Macierz A nazywamy macierzą układu równań, wektor b nazywamy wektorem wyrazów wolnych
(kolumną wyrazów wolnych).
Definicja 3 Macierzą rozszerzoną układu równań liniowych
dołączoną kolumną wyrazów wolnych
 a11 a12 ⋯ a1n

a
a
⋯ a 2n
[A | b] =  21 22
⋯ ⋯ ⋯ ⋯

a m1 a m 2 ⋯ a mn

nazywać będziemy macierz układu z
b1 

b2 
⋯

bm 

II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ
Do rozwiązywania układu równań z wykorzystaniem macierzy odwrotnej potrzebna nam będzie postać
macierzowa tego układu. Ponadto muszą być spełnione następujące warunki:
1) Macierz A musi być kwadratowa.
2) Macierz A musi być macierzą nieosobliwą, czyli jej wyznacznik musi być róŜny od zera,
detA≠0.
Uwaga Warunek 2) jest równowaŜny warunkowi 3):
3) Rząd macierzy A musi być równy jej wymiarowi, tzn. rzA = n.
1
GP 2011/2012
ĆWICZENIA 6,7 – TEORIA (układy równań, wzory Cramera, metoda eliminacji Gaussa)
Algorytm rozwiązywania układu równań przy pomocy macierzy odwrotnej:
1) Zapisujemy układ równań liniowych w postaci macierzowej Ax = b, gdzie
 a11 a12 ⋯ a1n 
 x1 
 b1 
a

x 
 
 21 a 22 ⋯ a 2 n  , x =  2  , b = b2  .
A=
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 
⋯
⋯


 
 
a n1 a n 2 ⋯ a nn 
 xn 
bn 
2) Sprawdzamy czy macierz A jest nieosobliwa
3) Wyznaczamy macierz odwrotną A-1.
4) Rozwiązanie układu równań jest postaci x = A-1b.
Przykład:
RozwiąŜ układ równań
 x1 − x 2 − 2 x3 = 1

x 2 + 2 x3 = 2

 x −x −x =3
2
3
 1
Rozwiązanie:
1) Zapisujemy układ równań liniowych w postaci macierzowej Ax = b, gdzie
1 − 1 − 2
 x1 
1 
0 1
 , x =  x  , b =  2 .
A=
2
 2
 
1 − 1 − 1
 x3 
 3


 
 
2) Sprawdzamy czy macierz A jest nieosobliwa
1 −1 − 2
det( A) = 0 1
2 = 1.
1 −1 −1
Wyznacznik macierzy detA≠0, zatem macierz A jest nieosobliwa.
3) Wyznaczamy macierz odwrotną A-1
1 1 0 
A −1 =  2 1 − 2 .


− 1 0 1 


4) Rozwiązanie układu równań jest postaci x = A-1b
 1 1 0  1  1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3  3
−1
x = A b =  2 1 − 2 2 =  2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 = − 2 ,

  
  
− 1 0 1  3 − 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3  2

  
  
zatem
 x1   3
 x  =  − 2 ,
 2  
 x 3   2
   
czyli rozwiązaniem układu równań jest trójka x1=3, x2=-2 i x3=2.
III ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY WZORÓW CRAMERA
Podobnie jak w

(…)

… GP 2011/2012
ĆWICZENIA 6,7 – TEORIA (układy równań, wzory Cramera, metoda eliminacji Gaussa)
I UKŁAD RÓWNAŃ
Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x1, x2, …., xn:
 a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n x n = b1
 a x + a x +⋯+ a x = b
 21 1
22 2
2n n
2

 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
a m1 x1 + am 2 x 2 + ⋯ + amn x n = bm

Definicja 2 Postać macierzowa układu równań:
 a11 a12 ⋯ a1n   x1   b1…
… wolnych).
Definicja 3 Macierzą rozszerzoną układu równań liniowych
dołączoną kolumną wyrazów wolnych
 a11 a12 ⋯ a1n

a
a
⋯ a 2n
[A | b] =  21 22
⋯ ⋯ ⋯ ⋯

a m1 a m 2 ⋯ a mn

nazywać będziemy macierz układu z
b1 

b2 
⋯

bm 

II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ
Do rozwiązywania układu równań z wykorzystaniem macierzy odwrotnej potrzebna nam będzie postać
macierzowa…
… z elementów zerowych lub m<n.
Jednoznaczne rozwiązanie: W pozostałych przypadkach przekształcenia prowadzą do macierzy postaci
[Inr], gdzie In jest macierzą jednostkową stopnia n a r jest wektorem rozwiązań układu.
Przykład: (jednoznaczne rozwiązanie)
RozwiąŜ układ równań
3x1 + 2 x 2 + x3 = 5

x 2 + 5 x3 = 4

 x + 2 x + 3x = 3
2
3
 1
1) Zapisujemy macierz rozszerzoną układu równań:
3 2 1 5 


0 1…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz