Wykład 15
Układy równań liniowych
Niech K będzie ciałem i niech α1 , α2 , . . . , αn , β ∈ K. Równanie:
α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = β
z niewiadomymi x1 , x2 , . . . , xn nazywamy równaniem liniowym.
Układ:
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a x + a x + ... + a x = b
21 1
22 2
2n n
2
.................................
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
(1)
nazywamy układem m równań liniowych z n niewiadomymi. Rozwiązaniem
układu nazywamy każdy ciąg elementów (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ K n , które podstawione za zmienne x1 , x2 , . . . , xn spełniają każde z równań. Układ (1) możemy
zapisać w innej, macierzowej, postaci:
a11 a12
a21 a22
... ...
am1 am2
. . . a1n
. . . a2n
... ...
. . . amn
·
x1
x2
...
xm
=
b1
b2
...
bm
wtedy macierz:
A=
a11 a12
a21 a22
... ...
am1 am2
. . . a1n
. . . a2n
... ...
. . . amn
nazywamy macierzą współczynników układu, jej elementy nazywamy współczynnikami, a macierz:
b1
b
B= 2
...
bm
kolumną wyrazów wolnych. Przyjmując:
X=
x1
x2
...
xm
nasz układ zapiszemy, w postaci:
A·X =B
1
Zajmiemy się najpierw przypadkiem, gdy układ ma tyle samo zmiennych co
niewiadomych, to znaczy gdy macierz współczynników A jest kwadratowa.
Układ n równań z n niewiadomymi:
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
(2)
.................................
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
nazywamy układem Cramera 1 wtedy i tylko wtedy gdy det A = 0, gdzie
A = [aij ]n×n jest macierzą współczynników tego układu.
Jeśli A = [A1 , . . . , Ai , . . . , An ] jest macierzą współczynników układu, a B
jest kolumną wyrazów wolnych to przez A(i) oznaczać będziemy macierz
[A1 , . . . , B, . . . , An ], czyli A(i) oznacza macierz, która powstała z macierzy
A przez zastąpienie i-tej kolumny, kolumną wyrazów wolnych.
Twierdzenie 1 Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie
(x1 , x2 , . . . , xn )
dane wzorami:
det A(1)
det A(2)
det A(n)
, x2 =
, . . . , xn =
det A
det A
det A
Dowód Jeśli zapiszemy układ (2) w postaci macierzowej:
x1 =
A·X =B
to, ponieważ det A = 0, to możemy równanie wymnożyć lewostronnie przez
A−1 . Wtedy otrzymujemy:
X = A−1 · B
co oznacza, że rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne. Ponieważ:
1
A−1 =
(AD )T
det A
i AD = [cij ], gdzie cij = (−1)i+j det Aij , to mamy:
xi =
1
(c b
det A i1 1
i+1
+ ci2 b2 + . . . + cin bn ) =
(!)
1
((−1)
det A
1
det A
det Ai1 b1 + (−1)i+2 det Ai2 b2 + . . . + (−1)i+n det Ain bn ) =
a11 a12 . . . b1 . . . a1n
a21 a22 . . . b2 . . . a2n
1
= det A det A(i)
... ... ... ... ... ...
an1 an2 . . . bn . . . ann
1
G. Cramer (1704-1752) -matematyk szwajcarski, zajmował się układami równań liniowych i teorią wyznaczników.
2
równość (!) jest prostą konsekwencją Twierdzenia Laplace’a (jest to rozwinięcie wyznacznika macierzy A(i) względem i-tej kolumny).
Wzory występujące w powyższym równaniu
(…)
… stronie do macierzy jednostkowej, a to co pojawi się po drugiej stronie
jest poszukiwaną macierzą odwrotną. Proces, którym tu się posługujemy nazywa się procesem (albo algorytmem) Gaussa-Jordana (różnica ze zwykłym
algorytmem Gaussa polega na tym, że tu nie zatrzymujemy się na postaci
trójkątnej ale proces prowadzimy dalej redukując wyrazy nad przekątną).
Przykład Odwrócimy, wykorzystując proces Gaussa…
… (jest to rozwinięcie wyznacznika macierzy A(i) względem i-tej kolumny).
Wzory występujące w powyższym równaniu noszą nazwę wzorów Cramera.
Przykład Rozwiążemy metodą Cramera układ:
2x1 + 2x2 − x3 + x4 = 7
x1 − x2 + x3 − x4 = −2
x1 + x2 + x3 + x4 = 10
4x1 + 3x2 − 2x3 − x4 = 0
jest to układ Cramera, ponieważ:
2
2 −1
1
2
2 −1
1 −1
1 −1
3
1
0
det A =
=
1
1
1
1
−1 −1
2
4
3 −2 −1
6
5 −3
1
3
1
0
0
2 = 12
= − −1 −1
0
6
5 −3
0
Układ jednorodny
Układ równań nazywamy jednorodnym jeśli każdy wyraz wolny jest
równy zero (czyli B = 0). Każdy układ jednorodny posiada co najmniej
jedno rozwiązanie x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0. Wzory Cramera mówią, że
jeśli macierz współczynników układu jest kwadratowa i odwracalna to układ
jednorodny ma dokładnie jedno rozwiązanie zerowe. Oznaczmy przez S zbiór…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)