Twierdzenie Cramera

Twierdzenie Cramera Jeżeli macierz podstawowa A = [a1,a2,...,an] układy n równań z n niewiadomymi jest macierzą nieosobliwą , to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego układu określone wzorami Cramera: x i = , i = 1,2,...,n
lub w postaci macierzowej: x = A -1 b
Dowód: Jeżeli det A  0, to istnieje macierz odwrotna A -1 . Mnożąc lewostronnie obie strony równania Ax = b przez macierz odwrotną A -1 , otrzymujemy AA -1 x = A -1 b, a stąd wynika, że x = A -1 b. Wektor ten spełnia dane równanie , bo Ax = A(A -1 b) = (AA -1 )b = Eb = b.
Aby wykazać prawdziwość wzorów Cramera, obliczamy wyznacznik macierzy A i = [a 1 ,a,...,a i-1 ,b,a i+1 ,...,a n ] powstałej z macierzy A przed zastąpienie w niej i-tej kolumny wektorem b (kolumną wyrazów wolnych).
det A i = det [a 1 ,…,a i-1 ,b, a i+1 ,…, a n ] = det [a 1 ,…, a i-1 , a 1 x 1 +…a n x n , a i+1 ,…, a n ] = = det [a 1 ,… a i-1 ,a 1 x 1 , a i+1 ,…, a n ] + det [a 1 ,… a i-1 ,a 2 x 2 , a i+1 ,…, a n ] + … +
+ det [a 1 ,… a i-1 ,a i x i , a i+1 ,…, a n ] + … + det [a 1 ,… a i-1 ,a n x n , a i+1 ,…, a n ] = = | wszystkie wyznaczniki poza i-tym są równe zeru bo mają kolumny proporcjonalne | = = det [a 1 ,… a i-1 ,a i x i , a i+1 ,…, a n ] = x i det A, stąd przy założeniu, że det A  0 otrzymujemy wzory Cramera.
... zobacz całą notatkę