To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Definicja 1.
Układ równań liniowych to następujący układ:
(1)
a11x1 + a12x2 + … + a1mxm = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2mxm = b2
……………………………………………….
……………………………………………….
an1x1 + an2x2 + … + anmxm = bn
aij, bi – dane
xi – szukane
Rozwiązaniem układu 1 nazywamy każdą „emke” liczb które spełniają
każde z równań.
Definicja 2.
Jeżeli wszystkie elementy po prawej są równe zero to jest to układ
nazywamy jednorodnym. W przeciwnym przypadku jest to układ
niejednorodny.
∀i =1,2,...,n : b = 0
Definicja 3.
a11
a
A = 21
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1m
... a2 m
... ...
... anm
Macierz A nazywamy macierzą współczynników układu (1).
Gdy: b
1
b2
...
- jest kolumną wyrazów wolnych
bn
to:
a11
a
U = 21
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1m b1
... a2 m b2
... ... ...
... anm bn
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
Macierz U nazywamy macierzą
uzupełnioną układu (1)
strona 1 z 6
Część 11 - Układy równań liniowych
Uwaga:
Jeżeli:
x1
b1
x
2 b = b2
X=
...
...
xm
bn
to układ zapisujemy:
A⋅ X = b
Definicja 4:
Jeżeli układ (1) posiada nieskończenie wiele rozwiązań to układ nazywamy
nieoznaczonym.
Definicja 5:
Jeżeli układ (1) nie posiada rozwiązań to jest to układ sprzeczny.
Definicja 6:
Jeżeli w układzie (1) ilość niewiadomych jest równa ilości równań to jest to
układ kwadratowy.
Definicja 7:
Układ (1) jest układem Cramera jeżeli:
1o Anxn
2o detA ≠ 0
Twierdzenie 1.
Jeżeli układ jest układem Cramera to posiada dokładnie 1 rozwiązanie i:
xi =
Dxi
det A
Dxi - wyznacznik macierzy powstałej z macierzy
A przez zastąpienie i-tej kolumny (kolumny
współczynnika przy xi) przez wyrazy wolne
Uwaga
Układ Cramera można rozwiązywać stosując wzór Cramera.
WNIOSEK
1o Anxm i A ⋅ X = 0 układ jednorodny nie jest sprzeczny.
2o Anxn i
A ⋅ X = 0 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań ⇔ det A = 0
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 6
Część 11 - Układy równań liniowych
PRZYKŁAD 1.
2x1 + 3x2 - x3 = 1
x1 - x 2 + x 3 = 2
3x1 + x2 - 2x3 = 3
2 3 −1
A = 1 −1 1
3 1 −2
det A = 4 + 9 − 1 − 3 − 2 + 6 = 13
1 3 −1
Dx1 = 2 −1 1 = 17
3 1 2
2 1 −1
Dx2 = 1 2 1 = −6
3 3 2
2 1 1
Dx3 = 1 −1 2 = 5
3 1 3
x1 =
17
13
6
13
3
x3 =
13
x2 = −
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 6
Część 11 - Układy równań liniowych
Twierdzenie 2. Kroneckera-Capelliego
Z:
a11x1 + a12x2 + … + a1mxm = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2mxm = b2
……………………………………………….
……………………………………………….
an1x1 + an2x2 + … + anmxm = bn
a11
a
A = 21
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1m
... a2 m
... ...
... anm
a11
a
U = 21
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1m b1
... a2 m b2
... ... ...
... anm bn
T:
Układ ten posiada co najmniej 1 rozwiązanie rzA=rzU
Twierdzenie 3.
a) Układ ten posiada dokładnie 1 rozwiązanie jeżeli rzA=rzU=m gdzie m
jest ilością niewiadomych
b) Jeżeli rzA=rzU=r gdzie r
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)