macierze - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 497
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
macierze - omówienie - strona 1 macierze - omówienie - strona 2 macierze - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

MACIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI.
k
= {1,2,..., k}
Definicja 1.
Macierzą nazywamy
kartezjańskim
k ×
j
każde odwzorowanie określone na iloczynie
.Wartość tego odwzorowania na parze (i,j)
oznaczamy aij i nazywamy
zapisujemy w formie:
 a11
a
 21


 ak1
a12
elementem
tej
macierzy.
Zbiór
wartości
a1n 
a2n 



akn 
a22
ak 2
Ten zbiór utożsamiamy z macierzą.
Elementami macierzy mogą być różne obiekty matematyczne np. liczby,
wielomiany, inne funkcje.
Definicja 2.
 a11

 a21


 ai1


a
 k1
a12
a1 j
a22
a2 j
ai 2
aij
ak 2
akj
a1m 

a2m 


aim 


akm 

O elementach ai1, ai2, aim mówimy, że tworzą i-ty wiersz macierzy.
O elementach a1j, a2j, anj mówimy, że tworzą j-tą kolumnę macierzy.
Jeżeli macierz ma k wierszy i m kolumn, to mówimy, że jest to macierz o
wymiarach k×m.
PRZYKŁAD 1.
1
A=
5
−1 2
4 −2
3
5  2× 4

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 11
Część 6 - Macierze
Macierze oznaczamy najczęściej dużymi literami
A = [aij] = [aij]k×m = A k×m
Definicja 3.
a) Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz AT,
powstała z macierzy A przez zamianę jej wierszy na kolumny bez
zmiany ich kolejności.
AT=[bij]k×m
PRZYKŁAD 2.
1
A=
5
−1 2
4 −2
3
5  2× 4

1 5
 −1 4 
T

A =
 2 −2


3 5
b) Macierz nazywamy macierzą zerową jeżeli wszystkie jej elementy
równe są zero.
Oznaczenie:
0 k×m
c) Jeżeli ilość wierszy macierzy równa jest ilości jej kolumn, to macierz
taką nazywamy macierzą kwadratową.
A n×n
Definicja 4.
A n×n=[aij]
a) O elementach aii i=1, 2, ..., n mówimy, że tworzą przekątną główną
macierzy.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 11
Część 6 - Macierze
 a11
 .

 .

 .
.
.
a22
.
.
.
.
. 
. 

. 

ann 
b) Macierz kwadratową nazywamy macierzą diagonalną, jeżeli wszystkie
jej elementy poza przekątną główną są równe zero.
PRZYKŁAD 3.
1 0 0 
0 −2 0 


0 0 4


c) Macierz jednostkowa to macierz diagonalna, w której wszystkie
elementy na głównej przekątnej są równe jeden.
PRZYKŁAD 4.
1 0 0
I3 = 0 1 0


0 0 1 


d) Macierz nazywamy trójkątną górną jeżeli wszystkie jej elementy
poniżej głównej przekątnej są równe zero.
PRZYKŁAD 5.
1 2 7
0 −2 3


0 0 5


Macierz nazywamy trójkątną dolną jeżeli wszystkie jej elementy
powyżej głównej przekątnej są równe zero.
PRZYKŁAD 6.
1 0 0 
 7 −2 0 


4 2 5


Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 11
Część 6 - Macierze
e) Macierz nazywamy symetryczną jeżeli:
AT=A
PRZYKŁAD 7.
1
2

 −3

4
2 −3 4
5 7 6

7 4 2

6 2 0
DZIAŁANIA NA MACIERZACH.
1) Równość dwóch macierzy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy macierze
mają takie same wymiary i odpowiednie ich elementy są sobie równe.
A = [aij]k×m
B = [bij]l×p
aij = bij ∧ k=l ∧ m=p
2) Suma dwóch macierzy – dodając do siebie dwie macierze dodajemy do
siebie odpowiednie elementy.
A k×m [aij]
B l×p [bij]
A+B=[cij]:
cij= aij+ bij
3) Mnożenie macierzy przez liczbę – mnożąc macierz przez ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz