wektory główne - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 105
Wyświetleń: 826
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
wektory główne - omówienie - strona 1 wektory główne - omówienie - strona 2 wektory główne - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

Wektory główne endomorfizmu (macierzy).
Postać Jordana.
Definicja 1.
An×n
Wielomian
W ( λ ) = am λ m + am −1λ m −1 + ... + a1λ + a0
W ( λ ) nazywamy wielomianem anulującym macierzy A
:⇔ W ( A) = am Am + am −1 Am −1 + ... + a1 A + a0 ⋅ I = 0
Twierdzenie 1.
∆ ( λ ) = det ( A − λ I )
Z: An×n ;
T: ∆ ( λ ) = 0 wielomian charakterystyczny macierzy A jest anulujący
Definicja 2.
Wielomianem minimalnym macierzy An×n nazywamy wielomian anulujący
taj macierzy stopnia najniższego o współczynniku 1 przy najwyższej
potędze.
Twierdzenie 2.
Z: An×n ; m ( λ ) - wielomian minimalny macierzy A
T: wielomian m ( λ ) jest jedyny
Twierdzenie 3.
Z: An×n ; m ( λ ) - wielomian minimalny macierzy A
W (λ )
- wielomian anulujący macierzy A
T: wielomian minimalny macierzy A jest podzielnikiem każdego
wielomianu anulującego macierzy A.
W (λ ) = p (λ ) ⋅ m (λ )
Twierdzenie 4.
Z: An×n
- macierz
p
∆ ( λ ) = ± ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ( λ − λ2 ) 2 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p ) - wielomian charakterystyczny
k
k
k
macierzy A
k1 + k2 + ... + k p = n
m ( λ ) - wielomian minimalny
T: Każda wartość własna macierzy A jest pierwiastkiem wielomianu
minimalnego.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
WNIOSEK
An×n
jeżeli
∆ ( λ ) = ± ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ( λ − λ2 ) 2 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p )
k
k
m ( λ ) = ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ( λ − λ2 ) 2 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p )
s
s
kp
to
sp
si ≤ ki
i
i = 1,..., p
Przykład 1.
 −1 0 −3
A=  3 2 3 


 −3 0 −1


∆ (λ ) = − (λ − 2) ⋅ (λ + 4)
2
znaleźć wielomian minimalny
m (λ ) = − (λ − 2) ⋅ (λ + 4)
m ( A) = − ( A − 2 I ) ⋅ ( A + 4 I )
 −3 0 −3  3 0 −3  0 0 0
m ( A ) =  3 0 0  ⋅  3 6 3  =  0 0 0

 
 

 −3 0 −3  −3 0 3   0 0 0

 
 

⇒ m ( A) - wielomian anulujący
Wektory główne
Umowa zapisu:
W zapisie utożsamiamy wektor z jego współrzędnymi i w zależności od
kontekstu v oznacza albo wektor, albo jego współrzędne w bazie.
Definicja 3.
-macierz
λ - wartość własna macierzy
Wektor własny v odpowiadający tej wartości własnej nazywamy
(1)
wektorem głównym rzędu pierwszego i oznaczamy: v
(2) (2)
Wektor v , v
≠ 0 nazywamy wektorem głównym rzędu drugiego
odpowiadającego wartości własnej λ
jeżeli:
(2)
(1)
(1)
An×n
( A − λ I ) (v
itd.
wektor
jeżeli:
)=v
v (k ) ≠ 0
v
≠0
nazywamy wektorem głównym rzędu k macierzy A
( A − λ I ) ( v ( k ) ) = v ( k −1)
v ( k −1) ≠ 0
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 9
Część 13 –Wektory gł., postać Jordana
UWAGA
Wektor zerowy jest wektorem głównym każdego rzędu odpowiadającego
każdej wartości własnej
WNIOSEK
A= Mf
f - endomorfizm
v( ) ≠ 0
i
i = 1,..., k
( A − λ I ) v (1) = v ⇔ A ⋅ v (1) − λ v (1) = 0 ⇔ A ⋅ v (1) = λ v (1) ⇔
( )
f v ( ) = λv ( )
1
1
( A − λ I ) v (2) = v (1) ⇔ A ⋅ v (2) − λ v (2) = v (1) ⇔ A ⋅ v (2) = v (1) + λ v (2) ⇔
( ) ) = v ( ) + λv ( )
⇔ f v(
2
1
2
( A − λ I ) v (k ) = v (k −1) ⇔ A ⋅ v (k ) − λ v (k ) = v ( k −1) ⇔ A ⋅ v ( k ) = v ( k −1) + λ v (k ) ⇔
( )) = v(
⇔ f v(
k
k −1)
+ λv (
k)
Przykład 2. ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz