PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 1. PODSTAWOWE OKREŚLENIA. 1.1. DEFINICJA. Niech V oraz W będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K . Odwzorowanie F: V → W nazywa się odwzorowaniem liniowym (lub homomorfizmem przestrzeni wektorowych ), jeśli :
(L1) F( v 1 + v 2 ) = F( v 1 ) + F( v 2 ),
(L2) F(a v ) = aF( v ),
dla dowolnych v , v 1 , v 2 ∈ V oraz a ∈ K. Symbolem Hom ( V , W ) oznaczamy zbiór wszystkich homomorfizmów z V w W. Homomorfizmy z przestrzeni V w V nazywamy operatorami na przestrzeni wektorowej V .
TWIERDZENIE. Niech V oraz W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K oraz F: V → W . Wtedy F jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy F(a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = a 1 F( v 1 ) + a 2 F( v 2 ), dla dowolnych v 1 , v 2 ∈ V oraz a 1 , a 2 ∈ K.
TWIERDZENIE. Niech V oraz W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K oraz niech dodawanie elementów w Hom ( V , W ) i mnożenie elementów przez skalary będą zdefiniowane następująco: (F + G)( v ) = F( v ) + G( v ); (aF)( v ) = aF( v ),
dla v ∈ V oraz a ∈ K. Wtedy ( Hom ( V , W ),+, K) jest przestrzenią wektorową nad ciałem K.
1.2. TWIERDZENIE. Niech V , V' , V'' będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K, a ∈ K, F, G ∈ Hom ( V , V' ) F', G'∈ Hom ( V' , V'' ). Wtedy:
F'*F∈ Hom ( V , V'' ),
jeśli istnieje odwzorowanie odwrotne do F, F -1 : V' → V, to F -1 ∈ Hom ( V' , V ) , F'*(F + G) = F'*F + F'*G,
(F' + G')*F = F'*F + G'*F,
(aF')*F = F'*(aF) = a(F'*F),
jeśli F -1 oraz F' -1 istnieją, to (F'*F) -1 istnieje oraz (F'*F) -1 = F -1 *F' -1 .
TWIERDZENIE. Niech F∈ Hom ( V , V' ), A ⊆ V, A' ⊆ V'. Wtedy
F(L(A)) = L(F(A)),
F -1 (L(A')) ⊇ L(F -1 (A')).
WNIO SEK. Niech F∈ Hom ( V , V' ). Wtedy jeśli W
(…)
…. TWIERDZENIE. Niech V1, ..., Vm będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Wtedy L(V1 ∪ ... ∪ Vm) = {v ∈ V : v = v1 + ... + vm, v1 ∈ V1, ..., vm ∈ Vm }.
DEFINICJA. Niech V1, ..., Vm będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Wtedy podprzestrzeń W = L(V1 ∪ ... ∪ Vm) = {v ∈ V : v = v1 + ... + vm, v1 ∈ V1, ..., vm ∈ Vm } przestrzeni V nazywamy sumą przestrzeni V1, ..., Vm i oznaczamy symbolem W = V1+ ... + Vm.
PRZYKŁAD. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K oraz niech A1, ... , Am będą podzbiorami zbioru V. Wtedy L(A1 ∪ ... ∪ Am) = L(A1) + ... + L(Am). 4.2. DEFINICJA. Suma V1+ ... + Vm podprzestrzeni przestrzeni wektorowej V nazywa się sumą prostą podprzestrzeni, jeśli każdy wektor v z V1+ ... + Vm daje się jednoznacznie przedstawić w postaci v = v1 + ... + vm, v1 ∈ V1, ..., vm ∈ Vm. Sumę…
… podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V oraz niech Bi będzie bazą przestrzeni Vi, dla i = 1,..., m. Wtedy następujące warunki są równoważne:
V1+ ... + Vm jest sumą prostą,
Układ B = B1 ∪ ... ∪ Bm jest bazą V1+ ... + Vm .
Układ B = B1 ∪ ... ∪ Bm jest układem liniowo niezależnym.
TWIERDZENIE. Suma V1+ ... + Vm jest sumą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy dim(V1+ ... + Vm) = dimV1 + ... + dimVm, 4.5. TWIERDZENIE…
…), taka że N-1AN = diag(λ1, ..., λn). ((⇔ istnieje baza Mn(K) złożona z wektorów własnych macierzy A).
3.3 TWIERDZENIE. Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
WNIOSEK. (warunek wystarczający diagonalizowalności operatora F). Jeśli operator F na n wymiarowej przestrzeni wektorowej V ma n różnych wartości własnych, to jest diagonalizowalny. 3.4.TWIERDZENIE. Niech F…
…-1(W') < V.
1.3. DEFINICJA. Homomorfizm liniowy posiadający odwzorowanie odwrotne nazywa się izomorfizmem przestrzeni liniowych. Mówimy, że przestrzenie wektorowe V i V' są izomorficzne , jeśli istnieje izomorfizm V na V'. Izomorfizmy przestrzeni wektorowej V na siebie nazywamy automorfizmami. PRZYKŁAD. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K, B = (v1, ...,vn) baza V. Wtedy MB: V → Mn(K…
… CHARAKTERYSTYCZNY MACIERZY I OPERATORÓW TWIERDZENIE. Niech A ∈ Mnn(K). Wtedy Det(xI − A) jest wielomianem unormowanym stopnia n nad K. Ponadto Det(A − xI) = .
DEFINICJA. Wielomian Det(xI − A) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A i oznaczamy χA(x).
UWAGA. λ ∈ K jest wartością własną macierzy A ⇔ λ jest pierwiastkiem wielomianu χA(x). LEMAT. Jeśli A, B ∈ Mnn(K) są macierzami podobnymi (tzn. istnieje macierz odwracalna N, taka że B = N-1AN), to χA(x) = χB(x).
FAKT. Niech B oraz C będą bazami przestrzeni wektorowej V. Wtedy jeśli F jest operatorem na V, to macierze MBB(F) oraz MCC(F) mają jednakowe wielomiany charakterystyczne.
Wielomian charakterystyczny macierzy MBB(F) nazywamy wielomianem charakterystycznym operatora F i oznaczamy χF(x).
DIAGONALIZACJA MACIERZY OPERATORA LINIOWEGO.
3.1. TWIERDZENIE…
…. Niech F będzie operatorem liniowym na przestrzeni wektorowej V i niech B = (v1, ...,vn) będzie bazą V. Macierz MBB(F) jest macierzą diagonalną wtedy i tylko wtedy, gdy B składa się z wektorów własnych operatora F. Dokładniej, MBB(F) =diag(λ1, ..., λn) ⇔ F(vj) = λjvj dla j = 1,..., n.
TWIERDZENIE. Niech A, N ∈ Mnn(K) i niech N będzie macierzą odwracalną. Wtedy następujące warunki są równoważne:
i) N-1AN…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)